Razão para a mudança na direção de propagação da onda quando muda sua celeridade

1 de julho, 2022 às 20:06 | Postado em História da Ciência, Ondas de gravidade (ondas marítimas), Ondas eletromagnéticas, Ondas mecânicas, Óptica, Óptica geométrica

Bom dia Professores. Eu gostaria de saber  por que a mudança de velocidade curva a direção da propagação da onda? Qual a matemática que leva a essa conclusão?

Possivelmente o argumento mais simples para a mudança da direção de propagação de uma onda, seja eletromagnética ou mecânica (elástica ou de gravidade), consistente com a demonstração de Christiaan Huygens em seu Tratado da Luz de 1678, é o que segue:

1 – Quando muda a celeridade (valor da velocidade) da propagação de uma onda, como a frequência não é alterada, altera-se o comprimento de onda. Se a celeridade aumenta, cresce o comprimento de onda; se diminui, decresce o comprimento de onda.

2 – Imaginemos um trem de ondas que passa pela superfície de separação de um meio para outro (meio 1 para o meio 2 na Figura 1), crescendo a celeridade da propagação. Na Figura 1 estão representadas em cinza as direções de propagação e em preto, perpendiculares a essas direções, as frentes de onda separadas por um comprimento de onda (λ). 

   3 – É fácil perceber na Figura 1 que se não houvesse mudança na direção de propagação, o comprimento de onda no meio 1 (λ₁) seria igual ao comprimento de onda no meio 2 (λ₂). Entretanto, consistente com a hipótese de que a celeridade da propagação cresce ao passar do meio 1 para o meio 2,  e que portanto λ₁ < λ₂, é inescapável que a direção de propagação deve se modificar como representado na figura.

É possível avançar nesse tema demonstrando-se, a partir das considerações anteriores, a Lei de Snell-Descartes, historicamente formulada para a luz mas que pode ser estendida a outras ondas. Consideremos os dois triângulos marcados em vermelho na Figura 2. θ₁ e θ₂  são respectivamente os ângulos que a direção de propagação da onda incidente e da onda refratada fazem com a normal à superfície de separação dos dois meios.

Como os dois triângulos possuem em comum a hipotenusa e como os lados opostos aos ângulos θ₁ e θ₂ são respectivamente os comprimento de onda λ₁ e λ₂, é fácil demonstrar que

senθ₁/λ₁ = senθ₂/λ₂ .              (1)

Se dividirmos a equação pela frequência f da onda encontra-se

senθ₁/(f.λ₁) = senθ₂/(f.λ₂) .        (2)

Mas o produto do comprimento de onda pela frequência é respectivamente a celeridade c₁ e  c₂ em cada meio. Portanto

senθ₁/c₁ = senθ₂/c₂ .           (3)

A equação 3 é a Lei da Refração, válida independentemente da natureza da onda.

Particularizando agora para onda luminosa cuja celeridade (valor da velocidade) no vácuo é c e multiplicando a equação 3 por c encontra-se

senθ₁.c/c₁ = senθ₂.c/c₂ .           (4)

Mas a razão c/c₁ é o índice de refração do meio 1 (n₁)  e c/c₂ é o índice de refração do meio 2 (n₂).  Substituindo-se estas razões na  equação 3 obtém-se finalmente outra forma da Lei da Refração, a conhecida  Equação de Snell-Descartes:

n₁.senθ₁ = n₂.senθ₂ .           (5)

Há outras maneiras de se demonstrar a Lei de Snell-Descartes como se pode verificar em Demonstração.

“Docendo discimus.” (Sêneca)