Zeta de Riemann e Mecânica Quântica
15 de junho, 2019 às 21:40 | Postado em Matemática, Mecânica quântica
Respondido por: Prof. Magno Valério Trindade Machado - IF-UFRGSMinha dúvida é especificamente sobre o resultado ζ(-1) = -1/12 que, pelo que li, possui alguns usos em mecânica quântica.
O fato de esse resultado poder ser usado na MQ, que por sua vez produz resultados que podem ser confirmados experimentalmente, seria uma prova absoluta de que a soma dos números naturais realmente converge pra esse valor?
O matemático Ramanujan apresentou 2 derivações desta soma que foram publicados a posteriori em B.C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, pp. 135–136 (1985).
O que sei é que o uso da função Zeta de Riemann para regularizar séries divergentes é utilizada em várias áreas da física e da matemática. No caso de MQ pode ser usada para definir os traços de operadores Hermitianos (representando observáveis em MQ). Pode ser que o requerente esteja se referindo ao um trabalho do Stephen Hawking de 1977: S. W. Hawking, intitulado “Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime”, Communications in Mathematical Physics, 55, pp. 133–148 (1977). Ele mostrou naquele trabalho que no espaço usual de Minkowski função Zeta de Rieman correspondente à função partição e a mesma poderia ser calculada de forma explícita. Ele estava interessado em calcular a função de partição (termodinâmica) de gravitons termais e dos quanta de matéria no horizonte de buracos negros. A técnica, depois, perpassou todas as construções posteriores, por exemplo em teoria de cordas, etc.
A “soma dos números naturais” claramente é infinita. Estou meio enferrujado nessa parte, mas confiando nas definições da Wikipedia, a fórmula de ζ(x) que corresponde a essa “soma” só converge se Re(x)>1. O resultado ζ(-1) = -1/12 é obtido por formulações um pouco mais complicadas (números de Bernoulli). Euler conseguia várias dessas somas malucas como 1-1+1-1+…=-1/2, obtendo fórmulas fechadas para séries e aplicando formalmente a valores fora do intervalo de convergência, obtendo resultados inválidos.
Perfeito, Elizandro Max Borba! A série é infinita no sentido usual, mas pode ser usada para explicar outras séries infinitas. Comentei rapidamente o tratamento do Ramanujan deste tipo de problema matemático: https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
Mas estas certíssimo: a resposta para a pergunta do CREF é NÃO. Não é uma prova absoluta de que a soma dos números naturais realmente converge para aquele valor.