Teorema Central do Limite: vale para o produto de variáveis aleatórias?
15 de setembro, 2020 às 11:42 | Postado em Estatística e probabilidade, incertezas experimentais, Matemática
Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - www.if.ufrgs.br/~lang/Bom dia!
Existe algo sobre a convergência para uma distribuição Normal da multiplicação de variáveis aleatórias independentes com qq distribuição? Para a soma ja compreendi. Obgd. Wilson
O Teorema Central do Limite, conforme notado nas postagens TCL1 e TCL2, afirma que a soma (S) de N variáveis aleatórias independentes (X), com distribuição e variâncias semelhantes, é uma variável com distribuição que se aproxima da distribuição de Gauss (distribuição normal) quando N aumenta.
Se uma variável P é o produto de variáveis aleatórias X (tal que X>0), isto é,
P = X1 . X2 . … . XN, (1)
então tomando-se o logaritmo de P resulta em
ln(P) = ln(X1 . X2 . … . XN). (2)
Mas como o logaritmo do produto dos X é igual à soma dos logaritmos de X obtém-se
ln(P) = ln(X1) + ln(X2) + … + ln(XN). (3)
Ou seja, a variável ln(P) é igual ao somatório de variáveis aleatórias. Portanto o Teorema Central do Limite vale para a nova variável S = ln(P) que tende para a distribuição normal conforme N cresce.
Quando o logaritmo de uma variável aleatória P apresenta distribuição gaussiana ou normal, a distribuição da variável P é denominada de distribuição log-normal, cujas propriedades são apresentadas em Wikipedia e em log-normal distribution.
Outras postagens relacionadas com o tema: Distribuição de Gauss.
“Docendo discimus.” (Sêneca)
Galera, antes de qualquer coisa é útil deixar claro o que diz exatamente o teorema central do limite. Pra começo de história, não existe O teorema central do limite, e sim VÁRIAS VERSÕES do teorema central do limite (TCL). Porém a ideia essencial dele é a seguinte: tome uma sequência de variáveis aleatórias com variâncias σ_n² e médias μ_n, não necessariamente iguais. Pega as somas parciais dessas vas centradas em μ_i: S_n = Σ(X_i – μ_i) e o desvio padrão dessas somas parciais (note que, em geral, o desvio padrão da soma não é a raiz quadrada da soma das variâncias, já que existem TCL’s em que as vas são covariadas!!!!!). Deixa eu chamar esse desvio padrão de c_n. Uma versão do TCL vai normalmente dizer condições suficientes para que eu possa afirmar que
(S_n)/c_n -> N(0,1)
em distribuição. Ou seja, que a FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO da sequência ((S_n)/c_n) converge para uma função de distribuição normal. A versão mais famosa do TCL é a de Lindeberg-Levy, que diz que é suficiente (mas não necessário) que (X_n) seja iid (independentes e identicamente distribuídos) com médias μ e com variâncias finitas σ². Note que, nesse formato, c_n se reduz a σ × raiz quadrada de n. Daí obtemos a famosa expressão do TCL:
Raiz quadrada de n × ((1/n)S_n – μ)/σ -> N(0,1)
em distribuição.
Há outras versões do teorema central do limite, como o de Lyapunov, que usa o critério de Lindeberg (nada a ver com lindeberg-levy, embora seja o mesmo lindeberg kkkk) para demonstrar condições suficientes para as quais uma seq independente (e não necessariamente identicamente distribuída) satisfaça a condição do TCL. Mas isso aí eu convido o pessoal a pesquisar no wiki. Existem vários outros envolvendo α- mixing, séries temporais, processos martingais, etc. mas esses aí convido vcs a procurarem se quiserem tbm.
Dito isso, vamos a essa questão aí do produto. Eu realmente não conheço um TCL para produtos de vas., mas vamos tentar com vas. iid. Me deixa sem perda de generalidade supor que as médias dos logs são zero e chamemos de σ² a variância finita comum a todos (afinal estou supondo iid). Existe um teorema chamado teorema do mapeamento contínuo que diz que se Sn converge em distribuição pra S e se g é contínua, então g(Sn) converge em distr pra g(S). Esse teorema é particularmente útil aqui porque nós podemos tirar o log do produto Pn e obter Sn = soma dos logs de X_i. Daí a gente aplica o TCL e dps exponencia. Note que o TCL vai ficar assim:
raiz quadrada de n × ((1/n)S_n/σ) -> N(0,1).
Note que, se eu pegar o exponencial natural disso eu vou obter
P_n^(1/(raiz quadrada de n×σ)) -> logN(0,1),
em distr. Pelo teorema do mapeamento contínuo. Se eu chamar essa coisa do lado esquerdo de Πn eu vou ter que
Pn = Πn^(σ×sqrt(n)). (1)
Note, portanto, que não é Pn que converge em distr para uma log normal, mas sim Πn. Na verdade, é bastante plausível que Pn sequer convirja em distr pra coisa alguma além de infinito, uma vez que é isso o que sugere essa exponencial aí na eq. (1).