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Questão 11 – MNPEF-2017

Ola, gostaria que pudesse elucidar a resolução da questão 11 do MNPEF 2017. É uma boa questão.

q11_mnpef2017

Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - www.if.ufrgs.br/~lang/

Existem diversas soluções possíveis para esta questão e opto por resolvê-la no sistema de referência do vagão (SRV). O SRV é um sistema NÃO INERCIAL , isto é, possui aceleração em relação ao sistema de referência do solo que consideramos para fins práticos como um sistema inercial. Para uma discussão sobre ser a Terra um sistema de referência inercial vide  Referenciais inerciais e não inerciais: por que a Terra pode ser tomada como um bom referencial inercial?

Estando o vagão acelerado para a direita, no SRV ocorre, além das usuais forças de interação, uma força inercial (força “fictícia”) apontando para esquerda (esta força não existe se a solução é encaminhada no sistema de referência do solo), aplicada no centro de massa da esfera. A figura seguinte representa as duas forças horizontais exercidas na esfera no SRV onde FIn  é a força inercial e  fa é a força de atrito estático entre a esfera que rola sem deslizar (livre de resistência ao rolamento) sobre o vagão.

forcas_srv

A força inercial tem intensidade igual ao produto da massa da esfera (M) pela aceleração (A) do SRV. Ou seja,

forca_inercial

O rolamento sem deslizamento também é um movimento de rotação pura em torno do eixo instantâneo de rotação que neste caso passa pela região de contato da esfera com o assoalho do vagão. Assim sendo escreverei uma única equação dinâmica para o movimento da esfera no sistema SRV: a equação da resultante dos torques sobre a esfera. Como a força de atrito é exercida no eixo instantâneo, seu torque em relação ao eixo instantâneo é nulo, e portanto somente há um torque sendo exercido na esfera: o torque da força inercial em relação ao eixo instantâneo de rotação, aplicada no centro de massa da esfera. Desta forma a resultante dos torques (TR) é dada pela equação que segue onde R é o raio da esfera:

resultante_torque1

Substituindo a força inercial na expressão acima o seguinte resultado é obtido:

resultante_torque2

A resultante dos torques é então expressa como o produto do momento de inércia da esfera em relação ao eixo instantâneo (IEI) pela aceleração angular da esfera em relação ao eixo instantâneo (α). Ou seja,

resultante_torque3

O momento de inércia em torno do eixo instantâneo pode ser expresso em função do momento de inércia da esfera em torno do centro de massa (fornecido no enunciado da questão) usando-se o Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner). Ou seja,

teorema_steiner

Substituindo-se o resultado acima na equação anterior a ele, bem como a aceleração angular pela razão da aceleração linear do centro de massa da esfera (a) e o raio da esfera (R), resulta a equação seguinte:

resultante_torque4

Agora obtenho a aceleração da esfera (a) no SRV em função da aceleração do próprio SRV.

aceleracao

A aceleração da esfera no SRV (a) é então substituída na espressão do deslocamento (d) em função do tempo (t).

deslocamento

Finalmente obtenho o tempo para a esfera se deslocar até a borda do vagão:

tempo

Portanto alternativa correta é a alternativa c.

Este é um BELO problema em nível de Física Geral, envolvendo conhecimentos de Mecânica usualmente estudados nas primeiras disciplinas de qualquer curso superior de Física. Ótima escolha como questão de uma prova de seleção ao Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física.

Outras questões da prova do MNPEF-2017:

Questão 6 da prova do MNPEF-2017

Questão 15 – Prova do MNPEF 2017

A prova completa se encontra em http://www.sbfisica.org.br/~mnpef/images/Gabarito_2017/ProvaEscritaNacional_2017.pdf

 

“Docendo discimus.” (Sêneca)

Visualizações entre 27 de maio de 2013 e novembro de 2017: 2515.


2 comentários em “Questão 11 – MNPEF-2017

  1. Marco Aurélio disse:

    Excelente!

  2. Francisco Fontenele de Brito disse:

    Perfeito!!!!!

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