X

O Elevador de Einstein em uma garrafa de água

Olá, professor!

Gostaria de ter algumas informações sobre a aplicabilidade e validade do Princípio da Equivalência e a sua relação com o experimento mental do Elevador de Einstein. Existe algum experimento simples, possível de realizar em sala de aula que o exemplifique?

Agradeço antecipadamente a resposta.

Respondido por: Prof. Fernando Kokubun (FURG) - https://www.fisicaseteemeia.com.br/2021/

O elevador de Einstein é uma construção mental extremamente interessante,  e de acordo com o próprio Einstein, foi fundamental para o desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral, e nas palavras de Einstein  foi o pensamento mais feliz da minha vida “ [1].  Ele imaginou a situação  de uma pessoa  caindo do telhado de uma casa e sua percepção dos fenômenos físicos durante a queda. Este experimento mental, expressa um fato observacional importante: a de que todos os corpos caem com a mesma aceleração na presença de um campo gravitacional (devemos considerar uma situação onde a resistência do ar é desprezível, veja o excelente video do Brian Cox [2], comparando a queda de uma bola de boliche e um conjunto de penas, em um ambiente com resistência pelo ar reduzida). Sobre o Elevador de Einstein,  vamos considerar duas situações, que descrevo a seguir.

Na primeira situação vamos considerar que uma pessoa  aqui na superfície da Terra,  em um laboratório sem absolutamente nenhuma visão para fora. Para manter uma tradição entre os físicos, vamos chamar esta pessoa de Alice. Em seu laboratório, ela realiza diversos experimentos de física, e em um experimento de queda livre de um corpo, mede a  aceleração durante a queda, obtendo o valor igual a g=9,81m/s2. Alice precisa determinar se  esta aceleração é devido a existência de um campo gravitacional ou é devido a estar em um foguete  acelerado em relação a um referencial inercial e em ausência de campo gravitacional.  Mas Alice não consegue decidir fazendo apenas experimentos locais, independente do experimento que realize.

Agora vamos mudar para uma outra pessoa (e para manter a tradição da física, será  o Bob) em um laboratório igualmente sem visão para fora, mas  localizado distante de qualquer outro objeto, no espaço em uma região onde inexiste campo gravitacional.  Outra condição é que este laboratório esteja acelerado (é um laboratório foguete, e com os motores ligados), com aceleração igual a g. Neste laboratório, Bob executa diversos experimentos de física, e em experimentos de queda livre observa que todos os objetos possuem uma mesma aceleração igual a g=9,81m/s2.  Bob, como a Alice, precisa determinar se  esta aceleração é devido a existência de um campo gravitacional ou é devido a estar em um foguete  acelerado em relação a um referencial inercial.  Mas Bob não consegue decidir fazendo apenas experimentos locais, independente do experimento que realize.

Nesta  primeira situação, ambos não conseguem concluir se estão na presença de um campo gravitacional ou no espaço distante, em um foguete acelerado. Nenhum experimento local vai poder dizer se é um caso ou outro.

Na segunda situação,  o laboratório foguete de Bob, ainda longe de qualquer outro objeto, ficou sem combustível e não está mais acelerado. Nesta circunstância, o laboratório foguete se comporta como um referencial inercial perfeito: um objeto deixado inicialmente em repouso, continuará em repouso, até que lhe seja aplicada uma força.  E agora ao soltar um objeto, ele não cai. Será que Bob pode afirmar com certeza que está em um foguete com motores desligados e longe de qualquer objeto que gere um campo gravitacional? Ou Bob deve afirmar que está em queda livre nas proximidades de um corpo massivo?

E Alice? Bem, o laboratório dela, que na verdade está dentro de um poço e preso no teto por  cabos de aço, por um infeliz problema, começa a cair do andar que estava (os cabos de aço se romperam). Alice que estava repousando, acorda durante a queda e percebe ao soltar um objeto, que  ele não cai em direção ao chão, como acontecia. Ainda sem saber que o laboratório estava em queda livre, ela conclui que está em um ambiente sem gravidade!  E os objetos que estão parados, continuam parados em seus locais.  Para Alice, ela está em um referencial longe de qualquer outro objeto, em um referencial realmente inercial! (Ela prefere não pensar na situação trágica de seu laboratório estar caindo , pobre Alice)

Nesta segunda situação, tanto Alice como Bob, concluem estar em um referencial inercial.  E qualquer experimento local que realizem dentro do laboratório, não poderá dizer se o laboratório está em queda livre em um campo gravitacional (Alice) ou no espaço longe de qualquer outro objeto em um foguete não acelerado (Bob).  Nenhum experimento vai poder dizer  se é um caso ou o outro. A única coisa que sabem é que localmente, o seu laboratório é um referencial inercial.

Considerando as duas situações apresentadas acima, Einstein reconheceu importante que ao escrever uma  lei da física, ela não deveria depender do sistema de referencias escolhido. As leis  devem ser as mesmas em qualquer referencial, seja inercial ou não.  Foi a partir desta construção mental,  que permitiu a Einstein começar a elaboração da Teoria Geral da Relatividade. Ele procurou uma forma de obter as equações que descrevem os fenômenos físicos, de maneira que não dependia do tipo de sistema de referências escolhido, seja um referencial inercial ou não. Quem lembra das aulas de física, ao serem apresentados  às leis de Newton, o inicio deve ter sido algo como “dado um referencial inercial …”. Isto é, um tipo particular de referencial é escolhido. A Teoria da Relatividade Geral, não começa com uma escolha particular de referencial. Ela é escrita de forma a ser válida em qualquer referencial [3].

Antes de continuarmos, é preciso fazer uma observação importante, de que  a equivalência exata entre um referencial acelerado e um referencial fixo em um local com campo gravitacional, só ocorre em uma situação muito particular e artificial: um campo gravitacional homogêneo. Mas o que  significa ser homogêneo? Significa que em qualquer ponto que escolhermos, o campo gravitacional deve ser o mesmo, em sentido, direção e módulo (intensidade). No caso da Terra, ou qualquer outro objeto real, isto não ocorre. Mas isto não invalida o experimento mental do elevador de Einstein, pois um termo importante que é utilizado é o termo “experimento local”, que significa basicamente “uma região suficientemente pequena” [4].  No exemplo de Alice que está em queda livre, se ela realizar um experimento que compara com muita precisão o campo gravitacional em dois pontos distantes, ela irá notar que existem diferenças e poderá concluir corretamente que está na presença de um campo gravitacional e que ela está em queda livre. Esta ressalva é importante,  pois no caso de Alice em queda livre, o campo gravitacional não sumiu, ela é a responsável pela queda livre. O que ela vai medir é que os objetos não tem peso no seu laboratório em queda livre, que é diferente de afirmar que não existe campo gravitacionalPodemos imaginar que uma terceira pessoa (que vamos chamar de Charles), longe de Alice e Bob, e que  observa ambos, pode dizer que Alice está na presença de um campo gravitacional, e que Bob não está na presença de um campo gravitacional. Isto porque o campo gravitacional  é real, e vai existir independente do tipo de movimento do observador! [5]

Mas qual a relação com uma garrafa com água? A relação é um experimento que pode ser feito facilmente (mas prepare uma toalha!) em casa. Pegue uma garrafa plástica , pode ser de 500 ml, 1 litro ou mais. Faça um pequeno furo na lateral inferior da garrafa. Quando enchemos a garrafa com água, o furo vai fazer com que a água saia da garrafa. Por que ela sai? A coluna da água acima do nível do furo, exerce uma pressão, que vai depender da altura do furo até a superfície livre da água. Na superfície da água,  pressão é igual a da pressão atmosférica, que é a mesma do lado de fora do buraco. Mas na parte interna, a pressão é a da pressão atmosférica acrescida da pressão devido à coluna de água, ou seja, ela é maior que a da parte externa. Esta diferença de pressão, faz com que a água saia pelo buraco. (Ah não esqueça de fazer o experimento com a garrafa SEM a tampa, caso contrário, não vai funcionar.)

Agora o ponto importante: a pressão da coluna de água, depende da densidade da água, da distância do buraco até a superfície superior da água e da aceleração da gravidade. Então, se fizermos o experimento em um local que não tenha campo gravitacional, não deve sair água pelo furo. Humm, mas como podemos verificar isso?  Será que necessitamos de equipamentos sofisticados para fazer o experimento? Não precisamos de nada sofisticado!  Acabamos de comentar sobre uma situação onde um objeto em queda livre, se comporta como se localmente a aceleração da gravidade fosse nula. Então, esperamos que se soltarmos a garrafa em queda livre,  no referencial da garrafa, a situação seja semelhante ao caso sem a presença da aceleração da gravidade, logo a água não deve sair pelo buraco. Será? O melhor é experimentar!  Faça o experimento em casa, ou veja este  vídeo,  onde Brian Greene demonstra o experimento [6]. Note que inicialmente, com a garrafa parada,  a água sai pelo furo, e  ao soltar a garrafa, logo no início da queda, a água deixa de sair do furo, como esperado! O que está acontecendo? Cada porção da água, está caindo com a mesma aceleração g, assim como o furo na garrafa (e claro a garrafa também), de forma que em relação ao referencial em queda livre,  a água e o furo, estão caindo juntos! A figura 1, são fotos do experimento que fiz em casa. No lado direito é possível ver a água saindo pelo furo, enquanto a garrafa está parada e no lado direito, a garrafa em queda livre e já  não percebemos o jato saindo pelo furo.

Um experimento  simples de fazer, e que demonstra um dos princípios fundamentais  da física moderna! Este princípio recebe o nome de Princípio da Equivalência. Para os físicos existe o Princípio Fraco da Equivalência e o Princípio Forte da Equivalência.  O Princípio Forte estabelece que as leis da física devem ser as mesmas em qualquer referencial, seja inercial ou não. Para quem lembrar das aulas de física na escola, deve lembrar das leis de Newton , válidas em referenciais inerciais. O Princípio Forte é uma generalização, incluindo todos os tipos de referenciais. Ah, claro que podemos utilizar as leis de Newton em referenciais não inerciais, mas precisamos tomar alguns cuidados.  Utilizamos referenciais não inerciais  cotidianamente, pois a Terra não é um referencial inercial (ela translada aceleradamente em torno do Sol e ainda tem a rotação diurna), mas dependendo da situação, a Terra é uma aproximação muito boa de um referencial inercial. O que  vai acontecer é que, irão aparecer algumas forças que denominamos inerciais (alguns textos utilizam forças fictícias).  Em situações onde as forças inerciais são muito pequenas comparadas com as outras forças, elas podem ser desprezadas e a Terra pode ser considerada como um referencial inercial.  Um exemplo de força  inercial é a força CENTRÍFUGA, que somente aparece em referencias não inerciais. Para uma discussão interessante sobre força centrífuga, recomendo visitar a postagem Força INERCIAL centrífuga .

O Princípio Fraco da Equivalência, estabelece a igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional. Mas  o que seria massa gravitacional??? A massa inercial é aquela que aprendemos nas aulas de física, é a grandeza relacionado com a inércia de um objeto (é comum associar a massa inercial com a medida da quantidade de matéria, mas isto não é muito correto, pois existem situações onde existe algo semelhante a inercia mas não tem matéria!). E a massa gravitacional é uma grandeza física que representa como um objeto responde à presença de um campo gravitacional, e a rigor não é o  mesmo conceito que o de massa inercial.  A massa inercial aparece quando escrevemos por exemplo a Segunda Lei de Newton , onde a  resultante das forças é expressa como o produto da massa inercial pela aceleração.  A massa gravitacional aparece quando colocamos um objeto em um campo gravitacional. Lembram quando escrevemos a equação do peso, como P=mg, onde g é a aceleração da gravidade? A massa que aparece na equação é a massa gravitacional e não  a massa inercial. Confuso? Se você lembrar das aulas de eletricidade, deve lembrar da Lei de Coulomb. Na presença de um campo elétrico E, a força que o campo elétrico exerce em um corpo com carga elétrica q, é escrita como F=qE. A carga elétrica é a grandeza que nos diz como o objeto reage na presença de um campo elétrico, e de maneira análoga a massa gravitacional é como o objeto reage  na presença de um campo gravitacional. Seria algo como a “carga gravitacional”.  O grande mistério da física é por que a massa inercial é igual à carga gravitacional (ou massa gravitacional). Esta igualdade faz com que a aceleração dos objetos em queda livre, seja sempre a mesma, independente da sua massa inercial!

O Princípio da Equivalência tem sido testado muito, e até o momento não  existem resultados robustos que mostrem que o princípio esteja errado. Existem experimentos ou observações realizados com grandes objetos – como as estrelas e buracos negros, galáxias – ou objetos menores como átomos, nêutrons e mesmo neutrinos e o Princípio da Equivalência tem sido comprovado em todos os experimentos e observações. Experimentos recentes realizados no Centro Europeu de Pesquisas Nucleares (CERN), indicaram que a matéria e a anti-matéria (no caso prótons e anti-prótons) se comportam da mesma maneira na presença de um campo gravitacional, com um teste extremamente preciso da validade do Princípio Fraco da Equivalência [7].

Existem alguns trabalhos que teoricamente fazem previsão da violação do Princípio Fraco da Equivalência, mas em situações muito extremas e que ainda não temos condições de fazer experimentos para testar as previsões. Talvez futuramente, possamos determinar com maior precisão SE existem situações em que o princípio pode ser violado, e fazer testes experimentais para validar as previsões. Por enquanto, desde escalas cosmológicas até escalas dos núcleos atômicos, o Princípio da Equivalência é corroborado com resultados bem robustos. Podemos continuar a brincar com nossa garrafa com água [8].

Para um texto muito interessante sobre o Princípio da Equivalência, recomendo a leitura do artigo EINSTEIN, A FÍSICA DOS BRINQUEDOS E O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA [9].  Vale a pena a sua leitura!

[1] Volume 7: The Berlin Years: Writings, 1918-1921. Link em  https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol7-trans/152

[2] https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs (video Brian Cox)

[3] Einstein comenta sobre a preferência da física newtoniana de escolher um referencial inercial, deixando claro que não podemos considerar como uma falha da física newtoniana, mas argumenta que  uma teoria  na qual qualquer referencial seja considerado equivalente, seria epistemologicamente mais satisfatória. O resultado foi a Teoria Geral da Relatividade. Ver em [1], o comentário, que é: “It should by no means be  claimed that the basically unsubstantiated preference of inertial systems over other coordinate systems constitutes an error of classical mechanics. The preference of certain sates of motion (namely, of inertial systems) in nature could be a final fact that we have to accept without being able to explain it (or reduce it to some cause). However, a theory in which all states of motion of coordinate systems are—in principle—equal has to be appreciated from an epistemological point of view as being far more satisfying. For the following consideration we want to use this equivalence as a basis under the name of “general postulate〉 principle of relativity. ”

[4] O  termo “pequeno”, depende da precisão dos equipamentos de medida que venha a ser utilizado. Mas não vamos nos preocupar com isso no momento.

[5]  Para quem estiver curioso, a maneira de determinar se é um referencial acelerado ou um campo gravitacional, é medindo o chamado desvio geodésico ou o efeito de maré. Esta grandeza está relacionada com a medida do campo gravitacional em dois pontos separados no espaço. Este efeito de maré NÃO pode ser eliminado em um referencial em queda livre ou qualquer outro referencial, pois está relacionando com a existência da curvatura do espaço-tempo. O desvio geodésico está relacionado com uma grandeza que denominamos tensor de curvatura de Riemann, que fornece as  informações sobre a curvatura do espaço-tempo, que é como a gravitação se manifesta de acordo com a Teoria da Relatividade Geral.

[6] https://www.youtube.com/watch?v=0jjFjC30-4A (Entrevista Brian Greene minuto 4:20 )

[7]  M.J. Borchet et all, , A 16-parts-per-trillion measurement of the antiproton-to-proton charge-mass ratio, Nature, 601,53-57, 2022. https://www.nature.com/articles/s41586-021-04203-w

[8] Existem alguns resultados observacionais que argumentam que são observados violações no Princípio Forte da Equivalência, por exemplo em observações que modelam a dinâmica de galáxias , e que favorecem uma classe de teoria denominada MOND (modelo de gravitação newtoniana modificada), mas são dados que ainda não são considerados consensuais.  E também os modelos MOND não são consensuais. Estes modelos são alternativas para a existência da matéria escura,  mas diversos dados  observacionais em diferentes situações  e modelos  teóricos robustos, favorecem a existência da matéria escura , de forma que MONDs não parece ser modelos corretos.

[9] A. Mederiros, C.F. de Mederiros, Einstein, a Física dos brinquedos e o Princípio da equivalência, Cad.Bras.Ens.Fis, v22 (3), 2005.   https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/6373/5899


3 comentários em “O Elevador de Einstein em uma garrafa de água

  1. Magno Vedovatto disse:

    Olá, professor. Estive estudando sobre o Princípio da Equivalência ultimamente, curso Engenharia Civil e sou apenas um curioso do universo da Física.

    A minha questão é acerca do experimento da garrafa d’água, pois eu não consegui compreender exatamente o porque o vazamento cessa. Então pensei nos conceitos do próprio Einstein e de hidrostática e cheguei à conclusão de que o vazamento encerra, pois ao soltar a garrafa nós a colocamos em um referencial inercial, assim “anulamos” a aceleração da gravidade, sendo assim a água não possui mais peso, logo, não existe mais pressão hidrostática dentro da garrafa, correto? Então o ar, devido à pressão atmosférica, não deveria entrar na garrafa? Ou as pressões se igualam? Sinto que há algum equívoco nas minhas análises, se puder elucidar para mim, ficaria grato.

    • Fernando Lang disse:

      Ao deixar cair a garrafa, como no sistema não-inercial da própria garrafa a aceleração da gravidade é nula, a água não tem peso. Se a água não tem peso a pressão em qualquer local da garrafa é a mesma e igual à pressão externa (a pressão atmosférica).

Deixe uma resposta para Fernando Lang Cancelar resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *