O cálculo do desvio padrão da média tem como pressuposto uma distribuição de Gauss?

19 de setembro, 2018 às 19:58 | Postado em Estatística e probabilidade, incertezas experimentais, Matemática

Professor Lang

Tenho uma dúvida que espero o sr. possa saná-la. Diz respeito ao desvio padrão da média de um conjunto de resultados experimentais. O cálculo do desvio padrão da média somente é válido quando os resultados experimentais apresentam distribuição normal ou gaussiana? Agradeço antecipadamente.

O cálculo desvio padrão da média de uma variável aleatória não tem como pressuposto uma distribuição normal ou gaussiana. O desvio padrão (ou a variância que é o quadrado do desvio padrão) é uma medida universal de dispersão conforme a implica a desigualdade de Chebychev.

É fácil se demonstrar a validade da expressão para o cálculo do desvio padrão da média a partir da conhecida propriedade de que a variância de Y (varY), onde Y a soma ponderada (w_i  é o peso da i-ésima variável X) de variáveis aleatórias não correlacionadas (Y=∑w_i.X_i), é o somatório produto das variâncias (var) das variáveis X pelo respectivo peso ao quadrado (esta propriedade também é conhecida como  equação ou fórmula de  Bienaymé):

var(Y) = ∑ w_i².var(X_i) .                                            (1)

Como a média de X (μ_X) é dada por

μ_X = ∑(1/n).X_i,                                                         (2)

onde n é o número de variáveis na composição da média, decorre da equação 1 que

var(μ_X)=∑ (1/n)² .var(X_i),                                        (3)

var(μ_X)= (1/n)² ∑var(X_i).                                         (4)

Mas as variâncias das variáveis X são todas iguais (var(X)) e portanto o somatório das variâncias resulta em

∑var(X_i) = n.var(X).                                                 (5)

Substituindo-se o resultado 5 em 4 encontra-se

var(μ_X)= (1/n)² n.var(X),                                         (6)

var(μ_X)= (1/n).var(X).                                              (7)

O desvio padrão (S) é a raiz quadrada da variância. Então extraindo-se a raiz quadrada da equação 7 resulta

S(μ_X)= S(X) / √n.                                                    (8)

A equação 8 fornece o desvio padrão da média de X como o desvio padrão de X dividido pela raiz quadrada do número de observações usadas no cálculo da média.

É importante notar que na dedução da equação 8 não há qualquer pressuposto sobre a distribuição da variável X. Entretanto, como a média de uma variável é dada por um somatório  de variáveis aleatórias, o Teorema Central do Limite (TCL) permite afirmar que a distribuição da média de X tende a ser gaussiana ou normal (mesmo que a distribuição de  X não seja uma distribuição de Gauss) quando o número de observações aumenta.

Vide postagens sobre o Teorema Central do Limite.

“Docendo discimus.” (Sêneca)