Módulo de elasticidade na Teoria da Relatividade.

10 de janeiro, 2020 às 13:10 | Postado em Mecânica, Relatividade

Boa tarde, gostaria de saber se o módulo de elasticidade é invariante com o corpo atingindo a velocidade próxima da luz.

O tema da elasticidade na Teoria da Relatividade é muito profundo e apresenta diversos nuances de acordo com a abordagem do problema.

Existe uma tese de mestrado sobre ele, intitulado “Corpos Elásticos em Relatividade Geral”, desenvolvida por Margarida I. Alves Corsino da Silva, em 2005, na universidade de Minho em Portugal.

A mesma envolve Teoria Geral da Relatividade, portanto equações tensoriais que se agregam às equações da elasticidade, que em 3-D são também tensoriais. A autora compila os trabalhos já existentes e explana o formalismo necessário ao longo de umas 40 páginas com muita matemática. Ela aplica o formalismo ao estudo da crosta de estrelas de nêutrons, por tanto objetos sumamente densos.

Quando surgiu a necessidade de analisar a interação destas duas áreas? Segundo a autora, as primeiras reflexões sobre o assunto surgiram da necessidade de estudar a interação de ondas gravitacionais com meios contínuos, para predizer como seria o comportamento dos detetores de ondas gravitacionais idealizados e construídos por Joseph Weber no final dos anos 50. A Figura 1 dá uma ideia do que era um detetor deste tipo.

Após diversas tentativas, uma teoria completa não linear da elasticidade foi apresentada por Carter e Quintana em 1972.

Isto dito, entendo que a curiosidade do interessado se refira mais à possível influência da cinemática relativística  que produz a contração espacial dos corpos na direção  do movimento.  Neste ponto, deve se considerar que a contração de Lorentz

L = L_o(1-v²/c²) = L_o.γ                       (1)

independe da constituição física do corpo em questão. Com qualquer material a contração de Lorentz depende tão só da velocidade relativa entre o corpo em estudo e o observador, como vê-se claramente na equação 1.

Para fixar ideias, consideramos uma barra de comprimento L_o e seção A_o (Figura 2), e um observador inercial que se movimenta com velocidade v paralelo a L_o. Ele vai observar a barra com comprimento L, de acordo com a equação 1, sem importar se a barra é de chocolate, ferro, plástico, etc.  Mas em qualquer instância o observador pode recuperar a medida em repouso da barra (L_o), caso conheça a velocidade relativa v.

Agora vamos ao nosso problema. Se no referencial próprio da barra ela for pressionada ou tracionada por uma força F aplicada nos seus extremos, perpendicularmente a A_o (supondo que a barra não é de nenhum cristal esdrúxulo que venha a produzir deformações laterais pela ação de F), ela sofrerá somente uma contração ou esticamento dL_o em L_o,

dL_o = F.L_o/A.Y ou    (2)

dL_o/L_o = P/Y,          (3).

onde a razão dL_o/L_o é a deformação relativa.

A equação 2 define o módulo de Young (Y). A equação 3 define a deformação relativa (deformação por unidade de comprimento). P = F/A é a pressão ou a tensão (com sinal negativo no caso da força de compressão ou com sinal positivo no caso de uma força tensora).

Supomos o regime linear no qual dL_o é proporcional a L_o e não há deformações plásticas.

Num experimento para medir o módulo de Young, um observador externo medirá, como efeito da ação relativista,

L’- dL’ = (L_o-dL_o).γ  = L_o.γ – dL_o.γ.         (4)

A deformação relativa que mede o observador externo é:

dL’/L’ =  dL_o.γ/L_o.γ = dL_o/L_o = P/Y.               (5)

Ou seja, em qualquer dos dois sistemas o módulo de Young que se mede é o mesmo. Este é o caso mais simples onde não estão considerados movimentos oblíquos, já que nesse caso dA também sofre deformação por causa do movimento. Outra questão é o tratamento da força, já que toda força implica numa aceleração, que leva o problema ao caso da Relatividade Geral. Evitamos este problema considerando dois estados de equilíbrio, o da barra livre e o da barra já deformada.

Como leitura complementar sugiro https://physics.stackexchange.com onde há uma discussão accessível sobre o assunto sob o título “Is Young’s Modulus a Lorentz Escalar?” Ali é apresentado o caso de uma mola com uma massa m pendurada que oscila. Na discussão aparecem diversos exemplos sobre esta pergunta.

Eu pensei, por razões heurísticas, apresentar o caso mais simples do problema, abrindo uma janela para a abrangência do mesmo, que por ser a conjunção de duas teorias tensoriais é muito complexo.