Mecânica quântica matricial e relações de incerteza

7 de junho, 2021 às 13:17 | Postado em Mecânica quântica

Professor, na formulação matricial, como surgem as relações de incerteza envolvendo dois observáveis quaisquer e, quando estes observáveis comutam com a hamiltoniana, como deve ser descrito o estado genérico do sistema e os possíveis resultados de medidas na mecânica quântica?

Sobre relações de incerteza:

– Ponto de partida é associar os 2 observáveis a dois operadores Hermitianos (representados por matrizes quadradas), A e B, e seus valores esperados, <A> e <B>, relativos a estados normalizados. Então, definem-se os operadores “desvio”, DA = A – <A> e DB =  B – <B>, os quais se pode mostrar que são também Hermitianos. O quadrado das incertezas (variâncias) nas medidas de A e B são, então, u_A^2 = <A^2> – <A>^2 e u_B^2 = <B^2> – <B>^2  As operações destes sobre qualquer estado |psi> são denotadas por |a> = DA |psi> e |b> = DB |psi>, do que segue que <a|a> = <psi| (DA)^2|psi>, <b|b> = <psi| (DB)^2|psi> e <a|b> =  <psi| DADB |psi>.

Utiliza-se a seguir a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é válida para quaisquer 2 vetores num espaço vetorial com produto interno. O espaço de Hilbert é um exemplo deste tipo de espaço vetorial. Aplicando esta desigualdade aos vetores de estado |a> e |b> definidos a poucos, teremos:

<a|a><b|b> >= |<a|b>|^2  —> <(DA)^2><(DB)^2> >= |<DADB>|^2

O ingrediente final é reescrever o lado direito da desigualdade em termos do comutador de A e B, [A,B]. Para isso, mostra-se que:

DADB = (1/2)[DA,DB]+(1/2)[DA,DB] = (1/2)[A,B]+(1/2){DA,DB}, onde [DA,DB] = [A,B].

Como o operador [A,B] é anti-hermitiano e o anti-comutador {DA,DB} é hermitiano, os seus valores esperados são imaginários e reais, respectivamente. Isso vai ser importante no cálculo de:

|<DADB>|^2 = (1/4)|<[A,B]>|^2+(1/4)|<{DA,DB}>|^2, onde o segundo termo é um número real positivo (devido ao fato do anti-comutador ser hermitiano)., o qual permite inferir que |<DADB>|^2 >= (1/4)|<[A,B]>|^2 e então rescrevemos

<(DA)^2><(DB)^2> >= |<DADB>|^2  —-> <(DA)^2><(DB)^2> >= (1/4)|<[A,B]>|^2

Tomando a raiz quadrada de ambos lados da última desigualdade e escrevendo o lado esquerdo em  termos das incertezas nas medidas dos observáveis A e B, teremos:

U_Au_B >= (1/2)|<[A,B]>|, que são as relações de incerteza generalizadas.

O princípio de incerteza de  Heisenberg é um caso particular destas, onde A = X  e B = P_x, com [A,B] = i*hbar*I (a relação de comutação canônica), onde I é o operador (matriz) identidade. Ou seja, <[X,P_x]> = i*hbar e |<[X,P_x]>|^2 = (i*hbar)(i*hbar)* = (i*hbar)(-i*hbar) = hbar^2   e, então u_xu_p >= hbar/2

Sobre comutação de operador com Hamiltoniano:

– Se um dos observáveis O é compatível com Hamiltoniano, então o operador H e o operador O compartilham uma autobase comum e o observável O está associado a uma quantidade conservada. Isto é, seu valor esperado é constante do tempo d<O>/dt = 0 –> <O> = cte. Esta consequência pode ser derivada diretamente do Teorema de Ehrenfest.

Sobre os estados genéricos, eles podem ser escritos em geral em termos da autobase de energia (associada ao Hamiltiniano), soluções da Equação de Schrodinger.

Os possíveis resultados de medida ainda continuam obedecendo ao postulado da MQ, onde os resultados possíveis para um observável são os autovalores do operador Hermitiano que o representa.