Mecânica Lagrangeana e Mecânica Hamiltoniana

27 de janeiro, 2014 às 9:26 | Postado em História da Ciência, Mecânica

Professor, somente a Mecânica Newtoniana consegue descrever adequadamente nosso mundo ?

Li sobre outras duas mecânicas – Mecânica Hamiltoniana e Mecânica de Lagrangiana – para descrever os fenômenos. Qual a diferença(e vantagens) entre elas ?

Obrigado

Como é bem sabido a Mecânica de Newton é uma teoria que falha em dimensões microscópicas e também no domínio das velocidade grandes e dos campos gravitacionais intensos. Nestes domínios valem respectivamente a Mecânica Quântica e a Teoria da Relatividade.

As duas mecânicas sobre as quais leste, a Mecânica Lagrangeana e  a Mecânica Hamiltoniana, são consistentes com a Mecânica Newtoniana, se constituindo ambas em formulações mais abstratas desta última. O formalismo lagrangeano e hamiltoniano parte de proposições energéticas, envolvendo a energia cinética e a energia potencial de sistemas newtonianos, das quais se pode derivar por métodos variacionais diversas variáveis mecânicas para tais sistemas. Do ponto de vista teórico elas permitem uma compreensão mais profunda da Mecânica de Newton. Do ponto de vista heurístico elas permitem para alguns sistemas soluções mais simples e imediatas do que aquelas conseguidas com o formalismo usual da Mecânica Newtoniana.

O formalismo hamiltoniano foi posteriormente aplicado também à Mecânica Quântica.

“Docendo discimus.” (Sêneca)

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Alexandre Medeiros – É preciso notar que a Mecânica Newtoniana surgiu no século XVII e foi desenvolvida no século XVIII, antes do advento da Análise Vetorial (no século XIX), para superar esta dificuldade. É exatamente no século XVIII que nasce a formulação lagrangeana. Em quaisquer sistemas dinâmicos se escolhe arbitrariamente algumas coordenadas generalizadas consistentes com as restrições do referido sistema. A diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema é chamada de Lagrangeana. Assim, há um número “n” de equações diferenciais, onde “n” é o número de graus de liberdade do sistema. A principal vantagem da mecânica de Lagrange é que não temos de considerar as forças de restrições e dado o total das energias cinética e potencial do sistema, podemos escolher algumas coordenadas generalizadas e calcular a equação de movimento totalmente de forma analítica, ao contrário do caso newtoniano, onde um tem de considerar as limitações e a natureza geométrica do sistema.

Alexandre C Tort – Complementado a resposta do colega Alexandre Medeiros: a mecânica “quente” é a newtoniana, o problema é identificar e descrever todas as forças que atuam sobre o sistema. Vínculos podem ficar indeterminados. As formulações analíticas como a lagrangeana e a hamiltoniana permitem incorporar as forças de vínculo, por exemplo, por meio da técnica dos multiplicadores de Lagrange, de um modo natural. Mas os vínculos podem ser integráveis ou não e aí a porca pode torcer o rabo. Forças dissipativas não deriváveis de um potencial também podem criar muitas dificuldades. Em outras palavras: podemos deparar-nos com limitações. Por outro lado, as formulações analíticas permitem avançar mais no desenvolvimento teórico. Um exemplo é o estudo das simetrias clássicas por meio do teorema de Noether, outro é o estudo dos sistemas contínuos e sua posterior quantização, como é o caso da eletrodinâmica clássica e a sua versão quântica, a QED.

Alexandre Medeiros – Ótima referência do Alexandre C Tort ao trabalho da grande Emmy Noether. Ele permite contemplar as ligações íntimas e até mesmo de ordem estética (simetrias) envolvidas nos Princípios de Conservação da Energia e do Momento Linear e suas respectivas relações espaciais e temporais.

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