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Gravitação: três movimentos decorrentes da força gravitacional com o mesmo período

Professor Lang

Eu vi o seu comentário sobre os três movimentos gravitatórios com o mesmo período. Eu conhecia dois deles sem me dar conta de que os períodos são iguais: o do oscilador no túnel que atravessa o planeta e o do satélite rasante ao planeta. Mas não entendi o do pêndulo simples muito comprido pois em acordo com a expressão 2 PI (L/g)^1/2 o período sempre cresce com o aumento do comprimento. Poderia explicar melhor sobre este último? Obrigado.

Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - www.if.ufrgs.br/~lang/

Em um discussão sobre gravitação na comunidade Física e matemática (F.M) notei que a expressão

T = 2π (R/g)1/2

ou

T = 2π (R3/GM)1/2

fornece tanto o período de um satélite rasante a um planeta esférico, quanto o período de um objeto exclusivamente sob a ação da força gravitacional em um túnel que liga dois pontos quaisquer da superfície de um planeta com densidade uniforme de massa (vide Se fosse possível criar um buraco que atravessasse o planeta …), quanto  o período máximo para um pêndulo simples na superfície de um planeta.

Nas expressões acima T é o período, R é o raio do planeta, M é a massa do planeta, g é a intensidade do campo gravitacional na superfície do planeta e G é constante da gravitação universal.

Este período é cerca de 84 min para um planeta com as dimensões e a massa da Terra. Para a Terra os satélites em órbita LEO (Low Earth Orbit) são os que mais se aproximam de ter este período.

Um pêndulo simples com comprimento muito maior do que o raio do planeta, oscila então não mais sobre uma circunferência mas sobre uma reta tangente à superfície do planeta, ou seja, o campo gravitacional do planeta NÃO é mais uniforme na região onde o pêndulo oscila (vide a figura abaixo) e por isto a expressão  T = 2π (L/g)1/2 deixa de valer pois na dedução desta expressão implicitamente se assume que o campo gravitacional na região de oscilação seja uniforme.

A dedução da expressão para o período em cada uma das três situações acima elencadas é um belo exercício de aplicação da Lei da Gravitação Universal e das Leis de Newton. Deixo aqui o desafio para quem quiser apresentar as demonstrações; as incorporarei no CREF então com os devidos créditos ao autor.

O desafio foi respondido no dia 11/08/2015 pelo meu EXCELENTE ex-aluno de Física 3,  Gustavo dos Santos Fernandes (graduando em Engenharia Elétrica da UFRGS). Apreciem abaixo suas demonstrações.

“Docendo discimus.” (Sêneca)

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Comentário do Prof. Jeferson Arenzon (IF-UFRGS):

Oi Fernando,

Impecáveis as respostas. Eu acrescentaria ainda um comentário para o caso de se levar em conta a não homogeneidade da Terra. Saiu um artigo este ano no Am. J. Phys.  que mostra que, neste caso, o tempo de travessia de lado a lado se reduz a 38min (e passa a depender da distância entre os pontos). O artigo se encontra em  http://arxiv.org/abs/1308.1342 .

Abs, j.
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As demonstrações que seguem abaixo são de autoria de  Gustavo dos Santos Fernandes (graduando em Engenharia Elétrica da UFRGS)
gustavo_fernandes

 

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