Gravitação: sistema binário

13 de setembro, 2015 às 10:48 | Postado em Astronomia, Gravitação, Mecânica

Professor Lang em uma situação de planeta binário, não se pode aplicar a terceira lei de Kepler em relação ao centro de massa? Para relacionar os períodos, se não porque?

Eu encontrei isso em uma questão, ele definia sistema binário da seguinte forma:  “Um planeta binário é um sistema formado por dois planetas que se atraem mutuamente pela força gravitacional e que orbitam em torno do centro de massa do sistema. Para que seja considerado planeta binário, o centro de massa (c.m.) do sistema não pode se localizar dentro de nenhum dos planetas”. O que me chamou atenção foi que segundo o gabarito que foi dado a banca considerava que esses dois planetas giravam como se fossem um halter, com mesma velocidade angular. Porém, quando fiz algumas contas para relacionar a situação com a Lei dos Períodos do Kepler já não se encontrava essa situação. Queria saber se de fato uma situação dessa não se pode aplicar a 3ª Lei de Kepler usando como ponto de referencia o centro de massa dos dois planetas. Obrigado

Questão na íntegra abaixo:

Este é um problema de DOIS CORPOS interagindo gravitacionalmente. As forças gravitacionais são forças internas ao sistema e, portanto, não podem alterar o momento linear total do sistema. No sistema de referência do centro de massa dos dois planetas as velocidades (lineares) dos dois planetas devem ter a cada momento a mesma direção, sentidos contrários e os seus valores (os módulos das velocidades) devem estar na razão inversa das massas dos planetas para que o centro de massa esteja em repouso. Ou seja, como o planeta menos massivo tem massa quatro vezes menor do que a massa do planeta maior, sua velocidade deve ter módulo quatro vezes maior do que o módulo da velocidade do outro planeta.

Para um sistema como este, as órbitas de cada planeta em torno do centro de massa podem ser elípticas ou circulares. O enunciado afirma que elas são circulares. Ora, se elas são circulares e o centro de massa está sempre em repouso, o centro das órbitas é o centro de massa dos dois planetas, ou seja, eles devem descrever trajetórias circulares com iguais velocidades angulares em torno do centro de massa.

De fato aplicaste a Lei dos Períodos de Kepler fora do domínio de validade. A lei, como a conheces, poderia ser aplicada se os dois planetas estivessem orbitando graças às forças gravitacionais exercidas por um terceiro corpo com massa muito maior do que a massa dos planetas. De acordo com este problema as órbitas são decorrentes da força gravitacional mútua ENTRE os dois planetas e isto leva a que a Lei dos Períodos de Kepler não possa ser usada como aconteceu em teu raciocínio.

Finalmente é importante destacar que as Leis de Newton são mais gerais do que as Leis de Kepler. No primeiro parágrafo de minha resposta eu utilizei as Leis de Newton.

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