Esfera de aço que cai até o fundo da fossa das Marianas
23 de junho, 2024 às 22:04 | Postado em Cinemática, Estrutura da matéria, Mecânica, Mecânica de fluidos
Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - IF-UFRGSProfessor Lang
Aproveito para lhe agradecer a resposta dada em Por que as nuvens não caem? e venho outra vez pedir seu esclarecimento.
No vídeo E Se Uma Bola de Aço Fosse Jogada na Fossa das Marianas? está dito que uma esfera de aço fosse jogada na fossa das Marianas ela chegaria no fundo em 12 minutos.
Minha dúvida diz respeito a como calcular a duração da queda pois se fosse uma queda livre este tempo seria de apenas 47 segundos. Outra dúvida que tenho é sobre a densidade da água em grande profundidade. Grato!
Sobre a densidade da água na fossa das Marianas há uma postagem de 2010: Variação da densidade da água com a pressão.
A densidade da água varia muito pouco conforme a pressão aumenta e tal efeito é menor ainda sobre a esfera de aço pois este é menos compressível do que a água. O módulo de elasticidade do aço é cerca de cinquenta vezes maior do o que o módulo de elasticidade da água, ou seja, para a mesma variação de pressão a variação percentual do volume da água é cerca cinquenta vezes maior do que a do aço.
Desta forma pode-se admitir que enquanto a esfera desce por 11km até o fundo da fossa Marianas a densidade do aço (7850kg/m3) e da água (1025kg/m3) são constantes. As variações de temperatura nesta descida também são pequenas (no máximo cerca de 25°C), afetando pouco as densidades da água e do aço.
A esfera que cai na água não está em queda livre pois duas forças se opõem ao seu movimento descendente: a força de empuxo e a força de arrasto da água. A força de empuxo é constante (independente da velocidade de queda) mas a força de arrasto cresce com o quadrado da velocidade de queda (vide nota 1). A esfera acabará por cair com velocidade constante, a chamada velocidade terminal.
De acordo com a equação 5, demonstrada na Wikipedia, a velocidade terminal (Vt) é dada por
| (5) |
Na equação 5 g é aceleração da gravidade (9,8m/s2), d é o diâmetro da esfera, ρ é a densidade da água (1025kg/m3), ρs é a densidade do aço (7850kg/m3), Cd é o coeficiente de arrasto da esfera (0,50).
Substituindo-se esses valores na equação 5, obtém-se a velocidade terminal como função da raiz quadrada do diâmetro da esfera:
Vt = 13,2 d1/2 m/s.
Desta forma quanto maior é o diâmetro da esfera, maior será sua velocidade terminal, transcorrendo um tempo menor para chegar ao fundo do oceano.
Uma esfera com diâmetro de 10cm ou 0,10m descerá com a velocidade terminal de 4,2m/s, levando cerca de 2600s ou 44min para descer 11km e chegar ao fundo da fossa das Marianas.
Uma esfera com diâmetro 1,0m descerá com a velocidade terminal de 13,2m/s, levando cerca de 833s ou 14min para descer 11km e chegar ao fundo da fossa das Marianas (vide nota2).
Portanto uma esfera com um pouco mais de 1m de diâmetro poderia descer em cerca de 12 minutos até o fundo da fossa das Marianas.
NOTAS
1 – A força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, dependendo da densidade (e não da viscosidade) da água, pois o número de Reynolds para esferas com raio da ordem de metro e velocidade da ordem de metro por segundo é 106. Vide a seção 2 de Frenagem de um projétil em um meio fluido.
2 – A fase acelerada da queda da esfera com 1m se estende por cerca de 30m e dura cerca de 3,0s somente. Vide a seção 5 de Velocidade das pedras de granizo.
“Docendo discimus” (Sêneca)