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Condensando resultados experimentais de uma mesma grandeza com diferentes incertezas

Prof. Lang,

em um experimento de fenda dupla o espaçamento entre as fendas (d) foi determinado medindo-se a posição dos dois primeiros máximos e mínimos, levando aos seguintes resultados, em metros: (2966±2)x10-8; (2970±1)x10-8; (2962±4)x10-8  e  (2902±1)x10-8.

Qual a melhor estimativa que se pode fazer para o valor de d, com a respectiva incerteza, a partir das quatro medidas?

Muitíssimo obrigada pelo esclarecimentos, que passarei diretamente aos meus alunos. (Quem sabe eles também se tornem fãs do Pergunte ao CREF.)

Eliane

Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - www.if.ufrgs.br/~lang/

Quando existem diversos medidas ou resultados experimentais relativos a uma mesma grandeza, cada um deles expresso por um valor central e sua respectiva  incerteza, é importante antes de mais nada verificar se esses resultados são coerentes entre si ou se ocorrem medidas discrepantes. Uma forma de analisar a consistência dos resultados é  construir um gráfico de barra de erro com eles. A Figura 1 é o gráfico para os quatro resultados da medida do espaçamento d da fenda dupla, onde cada barra está centrada no valor estimado para d e se estende por uma incerteza acima e abaixo deste valor.

A simples inspeção visual do gráfico permite identificar que os três primeiros resultados são consistentes entre si pois as diferenças entre os três valores centrais de d se assemelham às suas incertezas. Entretanto o quarto resultado se afasta dos demais por distâncias muito maiores do que as incertezas, caracterizando que ele é um outlier e merece ser colocado a parte dos demais[1]. Nesta análise ele será simplesmente descartado mas em outras circunstâncias o experimento  e os cálculos que o produziram poderiam  ser refeitos para tentar identificar alguma falha ou até algum erro de grosseiro.

Os procedimentos a seguir visam condensar os três primeiros resultados em um único, levando ao valor final para d com sua respectiva incerteza.

A condensação dos diversos valores experimentais é usualmente feito por uma média aritmética. A média aritmética simples é adequada quando todos os resultados experimentais são homocedásticos ou igualmente confiáveis mas ela não é a melhor a opção no caso de incertezas experimentais diferentes entre si, no caso de  heterocedasticidade das medidas. 

É intuitivo que resultados com menor incerteza devam ser privilegiados em relação aos demais. Ou seja, uma média aritmética ponderada é então preferível a uma média aritmética simples. A média aritmética ponderada para os três resultados experimentais de interesse está dada na equação 1 (é fácil generalizar esta equação para um número qualquer de termos) onde o peso de cada resultado é indicado pela letra ρ:

A equação 1 se reduz à média aritmética simples caso os três pesos sejam iguais a 1/3.

A incerteza propagada (u) para a função advinda da média ponderada é dada pela equação 2:

Um critério para se chegar ao peso de cada um dos resultados é os ponderando pelo inverso de quadrado de sua incerteza. Desta forma, quanto maior é a incerteza de um particular termo, menor será sua contribuição para o resultado final. As equações 3 a 5 expressam os pesos de cada um dos três resultados:

A substituição dos valores das incertezas nas equações 3 a 5 fornecem  os pesos no caso em pauta:

Substituindo-se na equação 1 os três valores da distância entre as duas fendas e os respectivos pesos encontra-se o valor final para d que tem como unidade de medida 10-8m:

Substituindo-se os pesos e as incertezas na equação 2 encontra-se a incerteza do resultado final que tem como unidade de medida 10-8m:

Desta forma o resultado final é:

Se a média aritmética simples dos três resultados fosse utilizada ao invés da média aritmética ponderada se encontraria como resultado final

que é semelhante ao encontrado em (11). Entretanto o resultado dado em (12)  apresenta incerteza maior do que aquela obtida com a média ponderada pois os pesos privilegiaram as medidas com menores incertezas.

[1] – Em uma abordagem mais rigorosa os quatros resultados seriam submetidos a uma Análise da Variância (ANOVA) visando inicialmente identificar se há diferenças estatisticamente significativas entre eles e, se existirem, localizar as diferenças e as medidas discrepantes.

“Docendo discimus.” (Sêneca)

 


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