Como determinar experimentalmente a aceleração em um movimento uniformemente variado?

16 de julho, 2017 às 20:24 | Postado em Cinemática, Estatística e probabilidade, incertezas experimentais, Matemática

De que maneira eu posso determinar os valores da aceleração de um carrinho em um trilho de ar (experimento virtual), usando um gráfico de espaço em função do tempo? Considerando que as únicas medidas que eu possa utilizar são do espaço percorrido e do tempo.

Vou dar a resposta exemplificando com dados colhidos na disciplina de Física Experimental 1 do curso de Física da UFRGS. Os dados dizem respeito a um movimento que, do ponto de vista teórico, temos razões para imaginar que possua aceleração constante e o seu delineamento experimental foi realizado de forma a estudar o movimento a partir do repouso. A tabela 1  apresenta as posições (X em centímetros) medidas em função do tempo (t). A unidade de tempo, denominada ut é muito aproximadamente 1/30 segundo. A origem do eixo dos X foi localizado na posição onde o movimento se inicia (em t=0), partindo do repouso.

Representando este movimento em um gráfico da posição X em função do tempo t (figura 1) observa-se que a posição  varia no tempo de forma não linear e, se nossa suposição estiver correta, está variando em acordo com a conhecida equação  X=a/2.t² , onde  a é a aceleração.

Podemos testar nossa hipótese de que o movimento possui aceleração constante construindo um novo gráfico de X contra o tempo elevado ao quadrado (última coluna da tabela 1). Se realmente o movimento tem aceleração constante, este novo gráfico deve levar os pontos experimentais a se alinharem muito aproximadamente sobre uma reta. Estamos desta forma tentando a linearização da representação dos pontos experimentais. O gráfico da figura 2 indica então que a linearização é bem sucedida e que, portanto, a nossa suposição teórica de  aceleração  constante parece estar correta.

A seguir traçamos “a olho” o que parece ser a melhor reta (em azul) que descreve os pontos experimentais. Nota-se que esta reta azul no próximo gráfico não contem exatamente todos os pontos experimentais e atribuímos estas discrepâncias às incertezas experimentais.

Agora determinamos a declividade da reta azul tomando dois pontos quaisquer sobre ela. No caso optamos pela origem (que corresponde a um ponto experimental) e pelo ponto (240 ut², 120 cm) que não é um ponto experimental mas está sobre a reta. A opção por estes dois ponto se deve ao fato de eles pertencerem à reta traçada e por estarem o mais distantes possíveis entre si. A declividade resulta então ser 120/240=0,5 cm/ut². Mas esta declividade é a metade da aceleração e portanto a aceleração vale 1,0 cm/ut².

Convertendo a unidade de tempo para a unidade do SI (1 ut=1/30 s) obtemos que a aceleração vale aproximadamente 900 cm/s².

Existe outra maneira de se obter a aceleração mas ela implica em conhecimentos de matemática mais avançados, especificamente sobre métodos de ajuste de curvas em dados experimentais (método dos mínimos quadrados). Ajusta-se aos pontos experimentais x uma equação do segundo grau em t; um dos parâmetros da equação ajustada é igual a metade da aceleração.

Finalmente sugiro a leitura da unidade III de Laboratório de Mecânica – Subsídios para o ensino de Física Experimental.

“Docendo discimus.” (Sêneca)

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