Campo elétrico produzido por uma pirâmide uniformemente carregada

11 de abril, 2025 às 20:43 | Postado em Eletrostática

Prezada equipe do CREF:

Deparei-me com o seguinte problema na internet: “Uma pirâmide reta de base quadrada e altura H tem carga elétrica distribuída uniformemente por todo o seu volume. A intensidade do campo elétrico no vértice da pirâmide (ponto P) é E. Um pedaço simétrico da pirâmide, de altura h, é removido, restando então apenas um tronco de pirâmide de altura H-h. Determine a intensidade do campo elétrico E’ no ponto P nesta nova situação.”

Várias resoluções podem ser encontradas para esta questão (vide, por exemplo, este vídeo: |PATHFINDER SOLUTIONS||ELECTROSTATICS-4|USING SYMMETRY||ADVANCE+|). Invariavelmente, todas as resoluções, usando argumentos geométricos, chegam a E’ = E (1-(h/H)). No entanto, dois pontos me causam desconforto aqui: um deles em relação ao próprio enunciado, outro em relação a esta solução.

1 – Sobre o enunciado: é possível estabelecer, teoricamente, um valor bem definido para o campo elétrico exatamente no vértice da pirâmide, visto que se trata de um ponto onde ainda há carga elétrica e onde o raio de curvatura tende a zero?

2 – Sobre a solução: dizer que E’ = E (1-(h/H)) implica que, se cortarmos a pirâmide de cargas pela metade da sua altura, cai somente pela metade o campo no ponto onde antes se encontrava o vértice da pirâmide (ponto P); contudo, fazendo esse corte, elimina-se toda aquela porção de cargas que estava mais próxima do ponto P e que, por conseguinte, deveria contribuir para a instalação de um campo elétrico extremamente intenso no ponto P, em virtude da bem conhecida “lei do inverso do quadrado da distância”. Sendo assim, faz sentido o campo elétrico inicial reduzir apenas pela metade com a retirada do topo da pirâmide? Agradeço qualquer comentário esclarecedor sobre esses tópicos.

RESPOSTAS AOS QUESTIONAMENTOS:

1 – Sobre o enunciado: é possível estabelecer, teoricamente, um valor bem definido para o campo elétrico exatamente no vértice da pirâmide, visto que se trata de um ponto onde ainda há carga elétrica e onde o raio de curvatura tende a zero?

Sim, é possível dada a suposição de uma distribuição continua e volumétrica de carga. Exatamente no vértice da pirâmide (e em qualquer ponto da distribuição) existe uma densidade volumétrica de carga finita (nesse caso também uniforme, constante). Tal implica em que a carga exatamente no vértice é infinitesimal pois o volume do vértice é infinitesimal. Então a intensidade do campo elétrico nesse ponto é finita, não diverge.

Calcular intensidades do campo elétrico em pontos da própria distribuição volumétrica de carga (ou de massa) é “fácil” quando a distribuição possui determinados tipos de simetria. O caso da distribuição com simetria esférica é bem conhecido e já foi resolvido por Newton.

A situação seria outra caso se tratasse de uma pirâmide condutora. Até o caso da esfera condutora se complica quando se deseja calcular a intensidade do campo em sua superfície conforme discutido em  Campo elétrico na superfície de condutores.

2 – Sobre a solução: dizer que E’ = E (1-(h/H)) implica que, se cortarmos a pirâmide de cargas pela metade da sua altura, cai somente pela metade o campo no ponto onde antes se encontrava o vértice da pirâmide (ponto P); contudo, fazendo esse corte, elimina-se toda aquela porção de cargas que estava mais próxima do ponto P e que, por conseguinte, deveria contribuir para a instalação de um campo elétrico extremamente intenso no ponto P, em virtude da bem conhecida “lei do inverso do quadrado da distância”. Sendo assim, faz sentido o campo elétrico inicial reduzir apenas pela metade com a retirada do topo da pirâmide?

O raciocínio que leva ao resultado E’ = E (1-(h/H)) parte da “lei do inverso do quadrado da distância”. Então o resultado é indiscutível, inelutável a menos que houvesse uma inconsistência no raciocínio. E eu não encontrei tal inconsistência.

Atenciosamente,

RÉPLICA DO PERGUNTANTE:

Caro Prof. Fernando Lang: