Cálculo aproximado de distâncias com base em coordenadas de latitude e longitude

19 de fevereiro, 2021 às 10:16 | Postado em Astronomia, Forma da Terra, Matemática, Mítica Terra Plana

Caro prof. Lang

Qual é a sua avaliação desta forma de calcular aproximadamente distâncias na superfície da Terra? Refiro-me especificamente o método descrito na seção intitulada “Calculando pequenas distâncias variando latitude e longitude” em  Calculando distâncias com base em coordenadas de gps.

Ou ainda ao método descrito na seção “Calculando a distância entre dois pontos geográficos” em Calculando distâncias e direções utilizando coordenadas geográficas.

Agradeço antecipadamente seus comentários.

É possível fazer estimativas de distâncias a partir do método proposto nos dois materiais indicados – 1 e 2 –  desde que seja feita uma importante correção.

Como está exposto em ambos os materiais uma diferença de UM grau em latitude sobre a superfície da Terra corresponde a uma distância de cerca de 60 milhas náuticas ou aproximadamente 111,1 quilômetros.

Na verdade esta diferença de 111,1km pode variar um pouco com a latitude devido ao fato de que o raio de curvatura da Terra não é constante,  existindo um pequeno achatamento do diâmetro polar em relação ao equatorial conforme a previsão de Newton, corroborada experimentalmente por volta de 1640 pelas Expedições Geodésicas  Francesas à Lapônia e ao Peru. Mais sobre o tema no vídeo A DISPUTA ENTRE CARTESIANOS E NEWTONIANOS NOS SÉCULOS XVII E XVIII SOBRE A FORMA DA TERRA e na postagem A forma da Terra e as bolas da FIFA.

Entretanto uma diferença de UM grau em longitude somente no equador da Terra corresponde a uma distância de 60 milhas náuticas ou 111,1 quilômetros. Conforme a latitude se afaste do zero (latitude zero corresponde a um ponto no equador da Terra), crescendo em valor absoluto até 90° (o polo norte da Terra possui latitude de +90° e o polo sul -90°), uma diferença de um grau em longitude corresponde a uma distância menor do que 111,1km. Esta distância é 111,1km multiplicados pelo cosseno da latitude. A figura 1 permite entender que a mesma diferença em longitude está associada a um arco de circunferência menor em latitudes crescentes em valor absoluto pois os paralelos tem raios de curvatura decrescentes conforme estejam mais próximos dos polos (observe especialmente os arcos em cor verde indicados entre dois meridianos).

O erro que deve ser corrigido nos dois materiais indicados – 1 e 2– diz respeito exatamente ao efeito da latitude sobre as distâncias entre dois pontos com diferentes longitudes. Na figura 1 o segmento de arco de cor verde indica que a mesma diferença em longitude representa distâncias cada vez menores conforme a latitude aumenta em valor absoluto, isto é, conforme se considere regiões mais próximas aos polos do planeta.

Vou exemplificar como estimar uma distância a partir das coordenadas de latitude e longitude (em graus decimais) usando o Google Earth (GE). A figura 2 mostra a ponte sobre o rio Jacuí nas proximidades de  Porto Alegre, indicadas também as coordenadas das extremidades da ponte, bem como a medida da extensão da ponte utilizando a ferramenta Régua que o GE oferece para se realizar tal medida.

Se desejamos obter a medida da extensão da ponte diretamente das coordenadas de latitude e longitude de suas extremidades começamos calculando as diferenças absolutas (em graus decimais) em latitude e longitude das extremidades da ponte (estas estão indicadas no lado superior esquerdo da figura 3).

A seguir calculamos o comprimento do cateto do triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a linha determinada pelas extremidades da ponte, orientado na direção norte-sul (identificado em vermelho na figura 3), multiplicando-se a diferença absoluta em latitude por 111,1km (comprimento da linha sobre a Terra que corresponde a uma diferença de UM grau em latitude). Esta distância esta indicada na figura 3 e vale 0,284km.

Para  obtermos o comprimento do cateto orientado na direção leste-oeste (identificado em vermelho na figura 3) multiplica-se a diferença absoluta em longitude (em graus decimais) por 96,2km  – comprimento da linha sobre a Terra que corresponde a uma diferença de UM grau em latitude na região da ponte  (a ponte se encontra na latitude aproximada de -30°). Este valor de 96,2km por grau de longitude é determinando a partir da multiplicação de 111,1km pelo cosseno da latitude (-30°).

Na figura 3 o comprimento do cateto na direção leste-oeste está indicado em vermelho e vale 0,748km.

Finalmente na figura 3 está calculado o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo (cálculo indicado em amarelo) que resulta em 0,800km. Este resultado difere do valor obtido diretamente com a ferramenta Régua do GE, apresentado na figura 2 (801,4m ou 0,8014km), em apenas 1,4m ou 0,2%.

O procedimento aqui apresentado é uma aproximação pois decorre da projeção da superfície esférica da Terra sobre um plano. Quanto maior é a distância entre os dois pontos considerados, tanto maior será a imprecisão que este método terá. Um exemplo é apresentado a seguir na avaliação da distância entre Porto Alegre e Itaqui  na fronteira oeste do RS. Na figura 4 encontram-se as coordenadas de latitude e longitude de ambas as cidades e a distância medida com a ferramenta Régua do GE que resulta em aproximadamente 525km.

Se o método aplicado na figura 3 é utilizado com os dados informados na figura 4, resulta em aproximadamente 519km para a distância entre Porto Alegre e Itaqui, portanto 6km inferior ao resultado da medida obtida com a ferramenta Régua do GE. Este erro  representa 1% da distância medida com a Régua enquanto que no exemplo anterior é apenas 0,2%. Fica assim exemplificado que este procedimento que projeta a superfície esférica da Terra sobre um plano determina distorções e erros de avaliação crescentes com a distância entre os dois pontos considerados. De acordo com o Teorema Egrégio de Gauss não é possível projetar a superfície da Terra em uma superfície plana sem produzir distorções. É sempre bom lembrar que a Terra não é plana como querem os terra-chatos! 😉

Nos materiais indicados na pergunta ao CREF – 1 e 2 – existe um erro pois ambos assumem que uma diferença de um grau (ou de um minuto) em latitude e longitude correspondem sobre a Terra à uma mesma distância, isto é, assumem que um minuto em longitude corresponde a uma distância sobre a Terra igual a 1 milha náutica (1852m) quando de fato em São Paulo (alvo de um exemplo no material 1) esta distância é 0,92 milhas náuticas (1698m), aqui em Porto Alegre 0,87 milhas náuticas (1604m) e sobre os círculos polares 0,40 milhas náuticas (738m) . De um modo geral, a diferença de um minuto em longitude é igual a 1 milha náutica multiplicada pelo cosseno da latitude.

“Docendo discimus,” (Sêneca)