A cicloide é também a curva braquistócrona quando o corpo rola?

13 de julho, 2018 às 22:27 | Postado em Dinâmica da rotação, Mecânica

Olá, eu estava estudando sobre a trajetória cicloide e me deparei com a afirmação de que um objeto deslizando sobre essa rampa tem o menor tempo de descida o possível.

“A cicloide é braquistocrona, onde “braquis” significa rápido. Ela é a curva que proporciona o tempo mais curto de trajeto entre o topo e qualquer outro ponto da rampa, mesmo que seja preciso primeiro descer para depois subir.”

Tendo isso em mente, questiono-me sobre se o objeto estivesse rolando ao invés de deslizando sobre a rampa cicloide, o resultado seria o mesmo? Nao importa se o objeto desliza ou rola sobre uma rampa cicloide, o tempo de descida seria o mesmo? Agradeço desde já se alguém puder me responder

A cicloide é de fato a curva braquistócrona (curva de menor tempo) ou a curva que permite transitar de um ponto para o outro mais rapidamente.

Na dedução da forma da curva que conduz um corpo de um ponto onde está inicialmente em repouso até outro ponto no menor tempo possível em presença de gravidade (g é a aceleração da gravidade) é importante considerar que a velocidade (v) que o corpo adquiriu ao descer por um desnível y seja dada pela equação indicada na figura 1. A equação para a velocidade é válida quando o corpo passa do ponto superior para o inferior deslizando sem atrito.

Quando um corpo rola sem deslizar entre os dois pontos, pode-se demonstrar que a equação que fornece a velocidade no ponto inferior difere da equação na figura 1 por um fator k, tal que k é menor do que um e depende da geometria e da distribuição de massa no corpo que rola. A equação para a velocidade do corpo que rola está na figura 2.

Conforme está indicado na figura o corpo que rola adquire a mesma velocidade que um corpo que desliza sem atrito em um campo gravitacional menos intenso.

Então a cicloide também é a curva de menor tempo (braquistócrona) para corpos de que rolam, embora quando há rolamento o tempo de viagem seja maior do que quando há deslizamento sem atrito pois o tempo de viagem é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade.

Esta propriedade permite construir dispositivos reais para exemplificar a curva braquistócrona utilizando-se esferas que rolam sem deslizar conforme vê-se na figura 4.

Vídeo exemplificando a braquistócrona: Oficinas de Física 10: a Braquistócrona

Outra postagem relacionada com o tema: Prova da PUCRS 2017 – Questão 1

Vídeos sobre a tautócrona ou a isócrona: Tautócrona, Encontro de dois pêndulos.

“Docendo discimus.” (Sêneca)