Relatividade: intervalos de tempo em dois foguetes

27 de novembro, 2022 às 10:04 | Postado em Relatividade

Vou apresentar uma questão sobre relatividade que para mim é complicada:

Imaginemos dois foguetes estacionados sobre a superfície de um planeta. Em dado momento ambos partem em trajetórias de mesma direção, porém em sentidos opostos e logo atingindo velocidades relativísticas em relação ao planeta. Suponhamos também que ambos os veículos tenham uma programação interna tal que eles mantenham as mesmas acelerações (em módulo) pelos mesmos intervalos de tempo (tempo interno do foguete). Os foguetes retornam ao planeta e, é claro, pousarão simultaneamente. Sendo ∆Tp o intervalo de tempo, medido no planeta, entre a partida e a chegada dos foguetes,
∆Tf1 o intervalo de tempo entre partida e chegada medido dentro do foguete arbitrariamente denominado f1 e ∆Tf2 o intervalo de tempo entre partida e chegada medido dentro do foguete arbitrariamente denominado f2, tem-se, por simetria em relação ao planeta ∆Tf2=∆Tf1 e pela relatividade ∆Tf<∆Tp.
Até aqui tudo bem.
Agora vamos eliminar o planeta: as duas naves estão no espaço, paradas uma em relação a outra e, em dado momento partem na mesma direção em sentidos opostos seguindo a mesma programação interna do caso anterior mas a única referência para uma nave é a outra nave. A questão é: como uma nave determina o intervalo de tempo transcorrido na outra nave, teremos ∆Tf2=∆Tf1? Como demonstrar isso?

A resposta para a pergunta se  o intervalo de tempo será a mesma nos dois foguetes, é sim, será  o mesmo intervalo de tempo em ambos os foguetes.

Podemos entender isto sem a necessidade de fazer cálculos. Vamos considerar a noção de tempo próprio, que é o tempo medido sempre no referencial no qual o relógio está em repouso. No exemplo citado, seriam os relógios em cada um dos foguetes e o outro no planeta. Como as viagens são sempre ida e volta, a comparação pode ser realizada de forma direta, colocando os relógios um ao lado do outro. E neste caso o “terceiro relógio” que é o do planeta, não é necessário. Assim, como todos os parâmetros são simétricos para ambos os foguetes, o tempo próprio medido em cada foguete devem ser iguais.

Mas podemos demonstrar isto de uma maneira mais formal? Sim, podemos. E sem considerar o planeta? Sim, mas neste caso teríamos que escolher um referencial fixo em um dos foguetes e fazer os cálculos neste sistema. Mas é muito mais simples utilizar o sistema do planeta como um sistema de referência (que é por hipótese simplificadora inercial), pois a do foguete seria um referencial acelerado, portanto não inercial.  E como a escolha de um referencial é arbitrária, sempre é mais conveniente escolher aquela que nos facilita o trabalho. Isto é uma boa regra para sempre ser seguido: escolher um referencial que facilita os cálculos.

Caso queria olhar um cálculo semelhante, um exemplo  é o caso de dois objetos em movimento circular de mesmo raio , mesma velocidade angular, mas com sentidos opostos. Cada vez que as orbitas se cruzarem, ao comparar o intervalo de tempo, sempre serão iguais. O cálculo em um referencial inercial (escolhendo por exemplo um fixo no centro do círculo) facilita muito as contas, mas podemos escolher um referencial fixo em um dos objetos em movimento (que no caso seria um referencial não inercial). No referencial inercial o resultado pode ser obtido de forma direta usando a equação da dilatação temporal, no referencial não inercial precisamos fazer mais cálculos este é um exercício que pode ser encontrado no livro Problem Book in Relativity and Gravitation , Lightmann, Press, Price e Teukolsky, o exercicio 1-11.

Outra postagem envolvendo intervalos de tempo na Relatividade: Paradoxo dos Gêmeos