Questão 5 da prova do MNEF – SBF – Velocidade da Lua no perigeu e no apogeu

30 de julho, 2014 às 14:07 | Postado em Astronomia, Gravitação, Lua, Mecânica, Questões do ENEM, vestibulares, concursos

Prof. Lang
Agradeço a sua resposta à questão dos dois capacitores que foi muito esclarecedora. Questão 16 da prova do MNEF – SBF – Dois capacitores
Eu quero aprender com meus erros e lhe peço, se possível, esclarecimentos sobre a resposta a duas questões.
Na questão 3 marquei a alternativa D pois tanto na situação 1 quanto na 3, por serem iguais em relação ao eixo do cilindro, o cilindro ganha energia cinética de rotação. Como a energia cinética do projétil é a mesma nas três situações e na situação 1, o cilindro não ganha rotação e portanto a plataforma deve receber uma velocidade maior. A alternativa correta pelo gabarito é a C. É isto mesmo?
Na questão 5 igualei a força centrípeta no apogeu e no perigeu com a força de atração da Terra na Lua e verifico que a afirmação I está errada. Mas o gabarito informa que tanto a I quando a II são corretas.
Agradeço antecipadamente as suas respostas e quero lhe dizer que acompanho suas postagens sempre que posso e muito tenho aprendido.

Na postagem anterior respondi sobre Questão 3 da prova do MNEF – SBF – Por que as velocidades são iguais? e agora passo à discussão da questão 5.

Inicialmente uma nota sobre terminologia. Força centrípeta é uma força que aponta para um centro; portanto, qualquer força que aponte para um centro pode ser denominada de força centrípeta. Entretanto certamente o que denominas de força centrípeta é a  FORÇA RESULTANTE CENTRÍPETA NO MOVIMENTO CIRCULAR (circunferencial), dado o seu módulo pelo produto da massa da partícula pelo módulo de sua velocidade ao quadrado dividida pelo raio da circunferência (m.v^2/R).

Se a Lua estivesse em órbita circular em torno da Terra então em qualquer ponto de sua trajetória a força gravitacional que a Terra lhe exerce seria perpendicular à velocidade e seu módulo dado pela expressão acima referida.

Como a órbita é elíptica a força gravitacional somente é ortogonal à velocidade nos pontos de apogeu e perigeu. Notoriamente em uma órbita elíptica a velocidade orbital varia, às vezes aumentando, outras vezes diminuindo, sempre porque a força gravitacional não é orogonal à velocidade orbital. Portanto a afirmativa III é falsa.

Como a força gravitacional sobre a Lua é inversamente proporcional ao quadrado da distância que (o centro da) a Lua está (do centro) da Terra, no apogeu a força tem intensidade menor do que no perigeu e a afirmativa II é então correta.

Entretanto nem no apogeu e nem no perigeu vale a igualdade entre o módulo da força gravitacional e o módulo da força resultante centrípeta no movimento circular simplesmente porque o movimento NÃO é circular. No perigeu (apogeu) a força gravitacional tem módulo MENOR (MAIOR) do que m.v^2/r (onde r é a distância Terra-Lua) e por isto a Lua em seguida a passagem pelo perigeu (apogeu) se encontra um pouco mais AFASTADA (PRÓXIMA) da Terra do que no próprio perigeu (apogeu). Se a igualdade estivesse satisfeita, por exemplo, no perigeu então a Lua estaria em órbita circular a 56.R da Terra e não estaria em órbita elíptica.

A afirmativa I está correta e decorre da conservação do momento angular orbital da Lua em relação à Terra pois o torque da força gravitacional é nulo em relação ao centro de força. Ou seja, tanto no apogeu quanto no perigeu vale que o módulo do momento angular orbital da Lua, dado por m.v.r, é o mesmo e, assim, decorre imediatamente a expressão dada na afirmativa I.

Da conservação do momento angular orbital também se demonstra que o raio vetor do corpo em órbita em torno do centro de força varre áreas iguais em tempos iguais (conservação da velocidade areolar). Historicamente esta afirmação foi feita em um contexto muito especial, envolvendo as órbitas dos planetas do sistema solar, por Kepler no século XVII (antes do advento da Mecânica de Newton), e é conhecida como a Segunda Lei de Kepler. Posteriormente, da Mecânica Newtoniana se demonstrou que a conservação da velocidade areolar é válida para qualquer órbita determinada por uma força central, inclusive para órbitas abertas (como por exemplo órbitas parabólicas e hiperbólicas no caso gravitacional).

“Docendo discimus.” (Sêneca)

_________________________________________

Comentário do João após a resposta acima.

Caro Prof. Lang

De fato eu havia calculado no perigeu assim: G.M.m/(56.R)^2 = m.vP^2/(56.R). E no apogeu de forma semelhante: G.M.m/(65.R)^2 = m.vA^2/(65.R). Então encontrei que vP^2.56 = vA^2.65 e achei que tinha havido um erro de digitação na afirmativa I.

Agora entendi meu erro. Muito obrigado! Simplesmente não lembrei da Segunda Lei de Kepler e acabei complicando o que era fácil. Eu acertei a questão pois eu tinha certeza que a III era errada e então não me sobrou outra alternativa além da D. De qualquer forma eu aprendi com sua resposta.

Agradeço sua disponibilidade em explicar!

Abraços

João

_______________________________________________

Comentário de Rafael Lopes de Sá no Facebook

Visualizações entre 27 de maio de 2013 e novembro de 2017: 2296.