Funções de Green

14 de setembro, 2015 às 8:25 | Postado em Matemática

Fisicamente o que significa as funções de Green? Qual a interpretação física que pode ser dada para elas não existirem para equações homogêneas.

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Comentários do Prof. Alexandre Medeiros (UFRPe) no Facebook:

ÓTIMA RESPOSTA, Fernando! A Matemática da resposta está realmente muito boa; mas, a resposta CONCEITUAL talvez pudesse ser mais simples; mesmo a um custo de se particularizar ainda mais a referida resposta para que o iniciante possa, de fato, compreender o que se quer dizer. Caso contrário, é melhor mandar o estudante ler um bom livro de Física-Matemática. O que o estudante, geralmente, deseja inicialmente é obter uma IMAGEM minimamente satisfatória do que está sendo posto em jogo e que ele depois possa refinar com mais rigor. Pensando assim, em vez de falar logo em EQUAÇÕES DIFERENCIAIS e suas soluções; vamos falar em FENÔMENOS FÍSICOS que possam ser convenientemente descritos pelas mesmas e nas quais SURJAM as FUNÇÕES DE GREEN. Tome-se, por exemplo, um TAMBOR e uma BAQUETA. Quando você atinge o tambor com a baqueta, o que ocorre? ONDAS se PROPAGAM e um SOM (ondas acústicas) é gerado. Agora, pense na mesma bateria, mas com você usando vários objetos, em vez de um único pedaço de pau (a baqueta) para martelar o tambor. O som, agora, será muito diferente; repleto de harmônicos adicionais. No entanto, você pode usar ainda a idéia da baqueta para representar os outros objetos. A IDEIA MATEMÁTICA MODELADORA da situação física aqui imaginada é a de que se pode aprender muito com a análise de como a batida da baqueta produziu o som ao colidir com o tambor para analisar em seguida os impulsos maiores de outros objetos. SIMPLIFICADAMENTE, isso é exatamente o que a FUNÇÃO DE GREEN representa: a BAQUETA. O SOM mais complexo produzido pelas colisões de quaisquer outros objetos pode ser representado através de combinações lineares (ou integral) da situação mais simples da baueta batendo no tambor. Existe uma ideia semelhante no processamento de sinais em geral. Note-se que a FUNÇÃO DE GREEN funciona para sistemas contínuos, enquanto a função resposta ao impulso funciona para sistemas discretos. Falando de um modo um pouco mais matemático, a FUNÇÃO DE GREEN da solução fundamental (para um particular problema linear descrito por equações diferenciais) é a solução desta Equação Diferencial Parcial, MAS APENAS para a carga aplicada em um ponto; ponto este compreendido de um modo geral e que pode ser um ponto no tempo ou no espaço. Usando a FUNÇÃO DE GREEN se pode ir além e tentar construir a solução completa para o problema. Por exemplo, para a distribuição geral da carga exercida, satisfazendo todas as condições de contorno; o que se constitui em um excelente exercício matemático para cada caso problema particular enfocado. Em geral, a técnica da FUNÇÃO DE GREEN é usada para lidar com problemas não homogêneos de valor limite. Na derivação da FUNÇÃO DE GREEN, a parte não homogênea é a função DELTA DE DIRAC que fisicamente significa uma FORÇA IMPULSIVA. Por isso, a FUNÇÃO DE GREEN, é uma poderosa ferramenta para lidar com situações físicas na presença de uma carga impulsiva.

De um modo geral, mas ainda simplificado, pode-se pensar também na FUNÇÃO DE GREEN como sendo a resposta de um sistema; ou seja, como o efeito devido a uma causa particular que serve para visualizar o efeito da fonte concentrada em um ponto em diferentes pontos do domínio considerado. No contexto da Eletrostática, por exemplo, a FUNÇÃO DE GREEN da EQUAÇÃO DE POISSON é o POTENCIAL ELÉTRICO devido a uma CARGA PUNTIFORME. Ela é a resposta do sistema físico para uma força impulsiva. Para a EQUAÇÃO DE ONDA que descreve ondas de superfície sobre um fluido, a FUNÇÃO DE GREEN seria uma boa aproximação do resultado de uma queda de chuva que bate na superfície. Já a FUNÇÃO DE GREEN da EQUAÇÃO DE HELMHOLTZ descreve a RADIAÇÃO a partir de uma fonte puntiforme com uma variação senoidal. E em um problema de ESTRUTURAS SÓLIDAS, a FUNÇÃO DE GREEN descreveria, como no exemplo inicial do TAMBOR, a resposta à batida de um martelo. E esses testes particulares com martelos são frequentemente realizados na vida real.

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