X

Por que sistemas físicos estáticos tendem a assumir a posição de menor energia potencial?

Boa tarde,

Recentemente me deparei com um problema do CAP2 do Goldstein (um livro de mecânica clássica) que envolvia a determinação da forma assumida por uma corda/corrente de densidade linear constante que fica suspensa entre dois pontos fixos, como o fio de luz entre dois postes. Esse é um problema de minimização, que pode ser resolvido pelo cálculo variacional. Nesse caso, admite-se que a curva assume a forma que minimiza a energia potencial gravitacional do sistema (dado o vínculo que o comprimento da corda é constante). Utilizando a técnica dos Multiplicadores de Lagrange é possível resolver essa questão, mostrando que a curva é uma “Catenária”.

Minha dúvida é: Porque o sistema (a corda) assume a posição de menor energia potencial? A única hipótese que tenho para isso é que, no caso estático, a Lagrangiana é dada por L=0-V (A energia cinética é zero), de forma que, pelo princípio de Hâmilton, devemos minimizar o potencial. Mas não tenho certeza se é correto argumentar dessa forma.

Eu ficaria muito grato se esse princípio da minimização do potencial pudesse ser esclarecido.

Rodrigo.

Respondido por: Prof. Magno Valério Trindade Machado - IF-UFRGS

Creio que a resposta mais simples para a pergunta é que os sistemas tendem para a configuração que minimiza sua energia potencial. Os pontos de equilíbrio estável de uma dada função energia potencial correspondem aos pontos de mínimo desta e são os pontos de máxima estabilidade. No caso mais quotidiano, a tendência dos objeto caírem pode ser descrita devido ao fato  deles terem uma  energia potencial (gravitacional) associada a sua altura acima do solo. Os corpos movem-se para baixo, minimizando sua energia potencial.

No caso da catenária, o mesmo princípio aplica-se, onde o cabo suspenso livremente assumirá uma forma que minimiza sua energia potencial gravitacional. No cálculo variacional a energia potencial é uma funcional (função de uma função, U é função da curva) e o problema é minimizá-la em relação a pequenas variações arbitrárias dessa função. Ou seja, se empurrarmos a corda/corrente para algum lugar e seu movimento for amortecido pelo ar/fricção interna, ela se estabelecerá novamente na configuração catenária. Matematicamente, na solução da catenária procuramos por uma configuração onde a energia potencial não muda para qualquer mudança infinitesimal na curva da sua posição a qual tem as pontas fixas e com comprimento definido (por isso a necessidade de incluir estes vínculos no problema).

Outra postagem do CREF sobre tema correlato: Dinâmica de Fluidos em uma abordagem energética?


5 comentários em “Por que sistemas físicos estáticos tendem a assumir a posição de menor energia potencial?

  1. David disse:

    “Creio que a resposta mais simples para a pergunta é que os sistemas tendem para a configuração que minimiza sua energia potencial.”

    Caro Prof. Magno, isso afirma o que o leitor já sabe. Ele está perguntando o motivo de tal fenômeno. Mas como é sugerido mais tarde em sua resposta, é quando a energia potencial é mínima que obtemos as equações corretas para o sistema—que essas equações são corretas pode ser verificado experimentalmente.

    Não poderíamos, ao meu ver, dar uma resposta melhor do que “porque é assim que os sistemas se comportam”.

    • Magno Machado disse:

      A síntese da minha resposta é que o mínimo do potencial corresponde à configuração de maior estabilidade.
      Mas se tens resposta melhor, este espaço é aberto a comentários.

    • Fernando Lang disse:

      A minimização do potencial, conforme a resposta do Prof. Magno, implica em que as condições de equilíbrio estejam satisfeitas e que o sistema se encontre em equilíbrio estável.

  2. Pedro F. da Silva Júnior disse:

    Uma resposta para essa pergunta numa perspectiva um pouco diferente. Sistemas mecânicos, no sentido estrito da palavra “mecânicos”, por vezes são estudados sem seu aspecto não-dissipativo. E isso é suficiente para se estudar muitos problemas dinâmicos. Mas os sistemas físicos reais não são “mecânicos”, são dissipativos, ou mais corretamente, termodinâmicos. A configuração de menor energia potencial define o equilíbrio mecânico estável, pois a configuração de menor energia interna define o equilíbrio termodinâmico estável. A resolução do raciocínio “menor energia potencial vem do equilíbrio mecânico estável, e equilibro mecânico estável vem da menor energia potencial”, que é claramente circular, tem como origem a natureza termodinâmica dos sistemas e a definição de equilíbrio nesse contexto, definição essa que naturalmente flui para a mecânica. Isso tudo vem da Segunda Lei da Termodinâmica. E, mesmo que o sistema seja puramente “mecânico”, onde a definição clássica de entropia não acontece, a minimização da energia acontece. Um adendo: Erik Verlinde, um físico holandês, amplia esse debate e propõe que, como a Segunda Lei da Termodinâmica é responsável pela fenomenologia da minimização da energia dos sistemas físicos reais, e a gravitação segue essa “regra”, a Segunda Lei da Termodinâmica também poderia ser a responsável causal da gravidade.

  3. A força conservativa que atua no sistema é dada por menos o gradiente da energia potencial.
    Vetor F = – grad(U)
    Esse vetor força aponta para na direçao e sentido no qual a Epot U do sistema diminui mais rapidamente. Portanto, ela “empurra” o sistema em direção ao decréscimo de sua Epot.
    Portanto, essa força vai levar o sistema a reduzir sua EPOT U ao menor valor possivel. Ela só descansa em paz quando o sistema atingir sua menor Epot.
    É tão intuitivo que leva o leitor a questionar o porquê.
    O restante das indagações decorrem das definições de Força conservativa, Energia potencial, Equilibrio estável, instavel, indiferente.

Deixe um comentário para Pedro F. da Silva Júnior Cancelar resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *