Por que sistemas físicos estáticos tendem a assumir a posição de menor energia potencial?
15 de outubro, 2021 às 19:10 | Postado em Mecânica
Respondido por: Prof. Magno Valério Trindade Machado - IF-UFRGSBoa tarde,
Recentemente me deparei com um problema do CAP2 do Goldstein (um livro de mecânica clássica) que envolvia a determinação da forma assumida por uma corda/corrente de densidade linear constante que fica suspensa entre dois pontos fixos, como o fio de luz entre dois postes. Esse é um problema de minimização, que pode ser resolvido pelo cálculo variacional. Nesse caso, admite-se que a curva assume a forma que minimiza a energia potencial gravitacional do sistema (dado o vínculo que o comprimento da corda é constante). Utilizando a técnica dos Multiplicadores de Lagrange é possível resolver essa questão, mostrando que a curva é uma “Catenária”.
Minha dúvida é: Porque o sistema (a corda) assume a posição de menor energia potencial? A única hipótese que tenho para isso é que, no caso estático, a Lagrangiana é dada por L=0-V (A energia cinética é zero), de forma que, pelo princípio de Hâmilton, devemos minimizar o potencial. Mas não tenho certeza se é correto argumentar dessa forma.
Eu ficaria muito grato se esse princípio da minimização do potencial pudesse ser esclarecido.
Rodrigo.
Creio que a resposta mais simples para a pergunta é que os sistemas tendem para a configuração que minimiza sua energia potencial. Os pontos de equilíbrio estável de uma dada função energia potencial correspondem aos pontos de mínimo desta e são os pontos de máxima estabilidade. No caso mais quotidiano, a tendência dos objeto caírem pode ser descrita devido ao fato deles terem uma energia potencial (gravitacional) associada a sua altura acima do solo. Os corpos movem-se para baixo, minimizando sua energia potencial.
No caso da catenária, o mesmo princípio aplica-se, onde o cabo suspenso livremente assumirá uma forma que minimiza sua energia potencial gravitacional. No cálculo variacional a energia potencial é uma funcional (função de uma função, U é função da curva) e o problema é minimizá-la em relação a pequenas variações arbitrárias dessa função. Ou seja, se empurrarmos a corda/corrente para algum lugar e seu movimento for amortecido pelo ar/fricção interna, ela se estabelecerá novamente na configuração catenária. Matematicamente, na solução da catenária procuramos por uma configuração onde a energia potencial não muda para qualquer mudança infinitesimal na curva da sua posição a qual tem as pontas fixas e com comprimento definido (por isso a necessidade de incluir estes vínculos no problema).
Outra postagem do CREF sobre tema correlato: Dinâmica de Fluidos em uma abordagem energética?
“Creio que a resposta mais simples para a pergunta é que os sistemas tendem para a configuração que minimiza sua energia potencial.”
Caro Prof. Magno, isso afirma o que o leitor já sabe. Ele está perguntando o motivo de tal fenômeno. Mas como é sugerido mais tarde em sua resposta, é quando a energia potencial é mínima que obtemos as equações corretas para o sistema—que essas equações são corretas pode ser verificado experimentalmente.
Não poderíamos, ao meu ver, dar uma resposta melhor do que “porque é assim que os sistemas se comportam”.
A síntese da minha resposta é que o mínimo do potencial corresponde à configuração de maior estabilidade.
Mas se tens resposta melhor, este espaço é aberto a comentários.
A minimização do potencial, conforme a resposta do Prof. Magno, implica em que as condições de equilíbrio estejam satisfeitas e que o sistema se encontre em equilíbrio estável.
Uma resposta para essa pergunta numa perspectiva um pouco diferente. Sistemas mecânicos, no sentido estrito da palavra “mecânicos”, por vezes são estudados sem seu aspecto não-dissipativo. E isso é suficiente para se estudar muitos problemas dinâmicos. Mas os sistemas físicos reais não são “mecânicos”, são dissipativos, ou mais corretamente, termodinâmicos. A configuração de menor energia potencial define o equilíbrio mecânico estável, pois a configuração de menor energia interna define o equilíbrio termodinâmico estável. A resolução do raciocínio “menor energia potencial vem do equilíbrio mecânico estável, e equilibro mecânico estável vem da menor energia potencial”, que é claramente circular, tem como origem a natureza termodinâmica dos sistemas e a definição de equilíbrio nesse contexto, definição essa que naturalmente flui para a mecânica. Isso tudo vem da Segunda Lei da Termodinâmica. E, mesmo que o sistema seja puramente “mecânico”, onde a definição clássica de entropia não acontece, a minimização da energia acontece. Um adendo: Erik Verlinde, um físico holandês, amplia esse debate e propõe que, como a Segunda Lei da Termodinâmica é responsável pela fenomenologia da minimização da energia dos sistemas físicos reais, e a gravitação segue essa “regra”, a Segunda Lei da Termodinâmica também poderia ser a responsável causal da gravidade.
A força conservativa que atua no sistema é dada por menos o gradiente da energia potencial.
Vetor F = – grad(U)
Esse vetor força aponta para na direçao e sentido no qual a Epot U do sistema diminui mais rapidamente. Portanto, ela “empurra” o sistema em direção ao decréscimo de sua Epot.
Portanto, essa força vai levar o sistema a reduzir sua EPOT U ao menor valor possivel. Ela só descansa em paz quando o sistema atingir sua menor Epot.
É tão intuitivo que leva o leitor a questionar o porquê.
O restante das indagações decorrem das definições de Força conservativa, Energia potencial, Equilibrio estável, instavel, indiferente.