Índice de refração menor do que um viola a Teoria da Relatividade Restrita?

31 de maio, 2021 às 11:44 | Postado em Óptica, Relatividade

Se o índice de refração é menor do que um, a velocidade da luz no meio é maior do que no vácuo. Como isso é possível? Não há violação da  Teoria da Relatividade Restrita?

Uma afirmação comum em livros textos introdutórios de Física, como em livros de ensino médio ou de física geral, é a de que o índice de refração de um material não pode ser menor do que 1.

À primeira vista, esta afirmação parece “se justificar”: o índice de refração é definido como a razão entre a velocidade da onda eletromagnética no vácuo c  e a sua velocidade no interior do meio v,

Em geral, esperamos que a velocidade com que uma onda eletromagnética se propaga dentro de um meio seja inferior à sua velocidade no vácuo, v<c , implicando que n>1  Em muitos livros introdutórios encontramos, então, a afirmação de que a Teoria da Relatividade diz que v>c  seria impossível, e consequentemente seria impossível encontrar n<1 . Contudo, o índice de refração para Raios-X (de comprimento de onda da ordem de 0,04 nm) na água, por exemplo, é de 0,99999974 [1]. O mesmo acontece com Raios-X em placas de vidro ou na ionosfera terrestre. Em algumas situações podemos sim encontrar n<1  e, então,  v>c .

Isso não é uma contradição com a Teoria da Relatividade Restrita (TRR)? Seria possível realmente uma onda eletromagnética viajando com v>c ? O que acontece é que a velocidade que estamos analisando pelo índice de refração é a velocidade com que as cristas e vales da onda avançam, chamada de VELOCIDADE DE FASE da onda. A TRR na realidade afirma que a energia e a informação não podem viajar mais rápido do que c , mas n<1  indica apenas que VELOCIDADE DE FASE da onda ultrapassou c  Em outras palavras, o índice de refração menor do que a unidade indica apenas que as cristas e vales da onda avançam mais rápido do que c  Mas essa velocidade de fase não representa necessariamente a velocidade com que a energia e a informação são transmitidas, de modo que isso não viola a TRR. A energia e a informação são transmitidas na velocidade de grupo, v_g , que não necessariamente coincide com a velocidade de fase (veja a explicação após a figura a seguir).

Para isso ficar mais claro, vamos tentar ilustrar a diferença entre a velocidade de fase e a velocidade de grupo da onda. Na Figura 1, em cima, temos um trem de ondas com um único comprimento de onda. Mas uma representação “mais realista” de uma onda eletromagnética está na figura abaixo, onde o trem de ondas é modulado (de certa forma, ele “começa” e depois “acaba”), constituindo um pacote de ondas.

Neste sinal modulado, a velocidade com que as cristas e vales avançam é a chamada velocidade de fase, que aqui estou representando simplesmente por v . Mas ao invés de olhar para as cristas e vales, podemos olhar para a velocidade com que o “envelope inteiro” de ondas avança: esta velocidade é a velocidade de grupo, v_g . A velocidade de grupo v_g  pode ser menor, maior ou igual a v .

Link para a animação

Na animação acima [2], vemos um “envelope” ou pacote de ondas se propagando: a velocidade com que as cristas se movem dentro do pacote (a velocidade de fase) é diferente da velocidade com que o pacote se move (a velocidade de grupo).

Em sinais que transmitem informação, modulados como na figura de baixo, a energia é transmitida na velocidade de grupo, e não na velocidade de fase (já sinais monocromáticos não são capazes de transmitir informação). Nos casos em que n<1  apesar de termos v>c , é possível mostrar que v_g<c , de acordo com a TRR.

Em suma, n<1  é possível e implica que a velocidade de fase da onda é maior do que c  Isso não viola a TRR, que requer apenas que energia e informação viajem abaixo de c  Os sinais transmitem energia e informação na velocidade de grupo, que, de fato, será inferior a c  mesmo quando n<1 .

NOTA ADICIONAL em 16/06/2021: Em regiões de dispersão anômala dn/dk <0 a velocidade de grupo pode exceder c. Nesse caso, contudo, o sinal se propaga com ainda outra velocidade, usualmente chamada de velocidade do sinal, Vs. De modo geral, Vs = Vg, exceto em uma banda de absorção de ressonância. Em todos os casos, Vs corresponde à velocidade de transferência de energia e não excede c.

Referências e sugestão de leitura complementar:

[1] https://web.archive.org/web/20110827214322/http://henke.lbl.gov/optical_constants/

[2] Fonte da animação: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_packet_propagation_(phase_faster_than_group,_nondispersive).gif

Leitura complementar: Eugene Hecht: Optics, 5th Edition. Capítulo 7, Seção “Superluminal Light”