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Aproximação para a expressão do período de um pêndulo em pequenas amplitudes. Quais são os limites de validade da aproximação?

Professor Lang

Encontro em textos que falam do período do pêndulo simples que a fórmula T = 2pi Raiz_quadrada(L/g) somente vale para quando a amplitude do pêndulo é menor do que 10 graus. Por que a amplitude deve ser esta para valer a fórmula?

Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - www.if.ufrgs.br/~lang/

Quando se deduz a conhecida expressão para o período do pêndulo simples ou mesmo do pêndulo físico diversas idealizações são feitas. Adicionalmente em uma etapa da dedução se considera que a amplitude angular de oscilação seja pequena, próxima de zero, tal que valha a conhecida aproximação do seno da amplitude angular pela própria amplitude angular (em radianos).

Feita tal aproximação se pode deduzir as conhecidas expressões para período do pêndulo simples (referida em tua pergunta) e para o pêndulo físico, ambas resultando serem independentes da amplitude.

Sobre a aproximação referida acima pode-se perguntar quando de fato ela é válida. Ou ainda, ela é válida para um ângulo de 10 graus?

Dez graus equivalem a 0,1745 rad e o seno de dez graus é 0,1736, portanto a aproximação é válida com um erro percentual de cerca de 0,5%. Se o ângulo aumentar para 20 graus, o erro percentual na aproximação cresce para cerca de 2% e  se o ângulo é 30 graus, o erro percentual atinge 5%. Desta forma a resposta positiva sobre a validade da aproximação depende do erro que podemos tolerar. Se tal tolerância vai a 2%, então até 20 graus podemos considerar que a aproximação está valendo.

Mas qual será então o erro no período quando o erro percentual na aproximação de seno do ângulo igual ao ângulo é, por exemplo, 2%? Será o erro no período maior, igual ou menor do que 2%?

Para responder a este questionamento devemos conhecer a expressão exata, não aproximada, para o período do pêndulo em função da amplitude. A dedução pode ser encontrada em https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics) e resulta em uma série infinita de potências pares do seno da amplitude angular do pêndulo, apresentada abaixo até o quinto termo:

Imaginemos então um pêndulo cujo período para pequenas amplitudes seja de exatamente UM segundo, ou seja,  T= 2pi Raiz_quadrada(L/g) = 1,00000 s. Qual seria então o período EXATO deste pêndulo caso ele oscile com a amplitude de 20 graus? Basta que se substitua na expressão acima o ângulo teta por 0,3491 rad e então o período resulta em 1,008 s. Portanto, o erro percentual no período aproximado em relação ao exato é inferior a 1% quando o erro percentual na aproximação do ângulo pelo seno do ângulo é 2%. Ou seja, NÂO podemos tomar o erro da primeira aproximação como sendo o erro no período, pois este segundo erro é menor do que o primeiro.

O gráfico que segue representa os dois erros percentuais em função da amplitude angular do pêndulo. T0 é a valor do período em amplitudes pequenas.

O gráfico deixa evidente que o erro percentual na aproximação do seno do ângulo pelo valor do ângulo É MAIOR do que o erro percentual do período para pequenas amplitudes em relação ao período exato.

É importante notar que o erro percentual no período para uma amplitude de cerca de 20 graus é apenas de 1%. E mesmo para as grandes amplitudes (inusuais em situações ocorridas em laboratórios onde utilizamos pêndulos) de cerca de 50 graus, ainda resulta um erro percentual no período de menos de 5%.

A implicação prática desta discussão é que usualmente nos experimentos que realizamos em laboratório com pêndulos, existem fontes de erro e de incerteza que sobrepujam largamente as imprecisões que decorrem da aproximação para pequenas amplitudes.

Finalmente é importante notar que estas considerações são válidas também para pêndulos físicos pelo fato de que para um dado pêndulo físico sempre existe um pêndulo simples que lhe equivale.

Outra postagem tratando desse tema: Dependência do período de um pêndulo com a amplitude.

Vide também o artigo ESTUDO_EMPÍRICO_DA_RELACAO_ENTRE_O_PERÍODO_E_A_AMPLITUDE_DE_UM_PÊNDULO.

“Docendo discimus.” (Sêneca)

Visualizações entre 27 de maio de 2013 e novembro de 2017: 3280.


2 comentários em “Aproximação para a expressão do período de um pêndulo em pequenas amplitudes. Quais são os limites de validade da aproximação?

  1. laura gaspar disse:

    Gostaria de saber até qual termo da série infinita de potências se calcula.

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